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Questão de Matemática — Proporções. Grandezas Proporcionais. Divisão em Partes Proporcionais — VUNESP 2025

MatemáticaProporções. Grandezas Proporcionais. Divisão em Partes Proporcionais
Código
vu219400
Banca
VUNESP
Órgão
UNIFIPA
Ano
2025
Cargo
Vest Med ( )
Em determinada semana, na segunda-feira, considerando o total de usuários de uma estação de metrô, a razão entre o número dos que partiram da estação e o número dos que chegaram a essa mesma estação foi 1114\frac{11}{14}. Na terça-feira, chegaram a essa estação 700 pessoas a mais do que na segunda- feira, e o número dos que partiram dela manteve-se o mesmo, de modo que, nesse dia, a razão entre o número dos que partiram e o número dos que chegaram foi 1115\frac{11}{15}. Na segunda-feira, a soma do número de usuários que chegaram à estação com o número de usuários que partiram dela foi
  1. A17 500.
  2. B18 000.
  3. C18 500.
  4. D19 000.
  5. E19 500.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 17 500.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 17.500 pessoas — alternativa A.

A ideia por trás

Razão é uma divisão entre duas grandezas: dizer que a razão entre partidas e chegadas é 11/14 significa que, para cada 11 pessoas que partiram, 14 chegaram. Quando conhecemos apenas a razão, usamos uma constante de proporcionalidade k: se a razão é 11/14, escrevemos partidas = 11k e chegadas = 14k, para algum k. Essa técnica transforma a relação em números que podemos somar e comparar.

A relação central é que, se uma grandeza permanece fixa e a outra varia, a diferença entre os termos correspondentes das razões reflete a variação real. Aqui, as partidas não mudam de segunda para terça, então o mesmo 11k vale nos dois dias. As chegadas passam de 14k para 15k, e a diferença 15k − 14k = k é exatamente o aumento de 700 pessoas. Isso vale porque as razões têm o mesmo numerador (11) e denominadores consecutivos (14 e 15).

Esta questão cobra exatamente essa percepção: montar as duas proporções com a mesma constante k e usar a diferença de 700 para achar k. Depois é só calcular as quantidades da segunda-feira e somá-las.

O que a questão dá

  • razão partidas/chegadas na segunda-feira = 11/14

  • razão partidas/chegadas na terça-feira = 11/15

  • chegadas na terça = chegadas na segunda + 700

  • partidas na terça = partidas na segunda

O que queremos: a soma do número de usuários que chegaram e partiram na segunda-feira

Passo 1 — Representar segunda-feira com a constante k

A razão 11/14 nos diz a proporção entre partidas e chegadas, mas não os números reais. A constante k é o fator que transforma a razão em quantidades concretas: se a razão é 11/14, então partidas = 11k e chegadas = 14k. Isso é a técnica padrão para problemas de razão e proporção.

Por que esta fórmula: Se a razão entre partidas e chegadas é a/b, então partidas = a·k e chegadas = b·k, para algum k. Aqui a = 11 e b = 14.

Pseg=11k,Cseg=14kP_{seg} = 11k, \quad C_{seg} = 14k

De onde vem cada valor: PsegP_{seg} = definição: partidas na segunda-feira · CsegC_{seg} = definição: chegadas na segunda-feira · 1111 = enunciado: razão 11/14 · 1414 = enunciado: razão 11/14

Pseg=11k,Cseg=14kP_{seg} = 11k, \quad C_{seg} = 14k

P_{seg} = 11k, C_{seg} = 14k

NÃO CAIA NESSA!

Inverter a razão, escrevendo partidas = 14k e chegadas = 11k — isso troca os papéis e leva a resposta errada.

Passo 2 — Representar terça-feira com a mesma constante

O enunciado diz que as partidas não mudaram de segunda para terça, então o mesmo 11k vale nos dois dias. A nova razão 11/15 indica que as chegadas da terça são 15k, pois o numerador continua 11 e o denominador passou a 15.

Por que esta fórmula: Como a razão é 11/15 e as partidas são 11k, as chegadas devem ser 15k para manter a proporção. Isso é consequência direta da definição de razão.

Pter=11k,Cter=15kP_{ter} = 11k, \quad C_{ter} = 15k

De onde vem cada valor: PterP_{ter} = passo 1: partidas na segunda = 11k, e o enunciado diz que não mudaram · CterC_{ter} = definição: razão 11/15 com numerador 11k · 1111 = enunciado: razão 11/15 · 1515 = enunciado: razão 11/15

Pter=11k,Cter=15kP_{ter} = 11k, \quad C_{ter} = 15k

P_{ter} = 11k, C_{ter} = 15k

NÃO CAIA NESSA!

Usar uma constante diferente para a terça, como 11m e 15m, esquecendo que as partidas são as mesmas — isso cria uma segunda incógnita desnecessária.

Passo 3 — Usar a diferença de 700 para achar k

O enunciado informa que na terça chegaram 700 pessoas a mais do que na segunda. Como as chegadas da segunda são 14k e as da terça são 15k, a diferença entre elas é 15k − 14k = k. Essa diferença é exatamente o aumento de 700, então k = 700.

Por que esta fórmula: A diferença entre as chegadas é C_{ter} − C_{seg} = 15k − 14k = k. Igualando a 700, obtemos k = 700.

Cter−Cseg=700C_{ter} - C_{seg} = 700

De onde vem cada valor: CterC_{ter} = passo 2: 15k · CsegC_{seg} = passo 1: 14k · 700700 = enunciado: chegaram 700 pessoas a mais na terça

15k−14k=70015k - 14k = 700
k=700k = \boxed{700}
NÃO CAIA NESSA!

Somar as chegadas em vez de subtrair, ou usar a diferença entre os numeradores (11 − 11 = 0) — a diferença está nos denominadores.

Passo 4 — Calcular partidas e chegadas da segunda

Com k = 700, podemos voltar às expressões do passo 1 e obter os números reais de segunda-feira: partidas = 11 × 700 e chegadas = 14 × 700.

Por que esta fórmula: Substituímos o valor de k nas expressões definidas no passo 1.

Pseg=11×700,Cseg=14×700P_{seg} = 11 \times 700, \quad C_{seg} = 14 \times 700

De onde vem cada valor: 1111 = passo 1: razão 11/14 · 1414 = passo 1: razão 11/14 · 700700 = passo 3: k = 700

Pseg=11×700=7700,Cseg=14×700=9800P_{seg} = 11 \times 700 = 7700, \quad C_{seg} = 14 \times 700 = 9800

P_{seg} = 7700, C_{seg} = 9800

NÃO CAIA NESSA!

Usar k = 7000 ou esquecer de multiplicar — confira sempre a ordem de grandeza.

Passo 5 — Somar partidas e chegadas da segunda

A pergunta pede a soma do número de usuários que chegaram com o número que partiram na segunda-feira. Já temos os dois valores, então basta somá-los.

Por que esta fórmula: A soma é simplesmente P_{seg} + C_{seg}.

S=Pseg+CsegS = P_{seg} + C_{seg}

De onde vem cada valor: PsegP_{seg} = passo 4: 7700 · CsegC_{seg} = passo 4: 9800

S=7700+9800=17500 pessoasS = 7700 + 9800 = \boxed{17500\ \text{pessoas}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar os valores da terça (7700 + 10500 = 18200) — a questão pede a soma da segunda-feira.

Resposta: 17.500 pessoas — alternativa A

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