Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — VUNESP 2025
Matemática›Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
vu219402
Banca
VUNESP
Órgão
UNIFIPA
Ano
2025
Cargo
Vest Med ( )
As bebês Lalá, Lelé e Lili são trigêmeas e, toda noite, cada uma delas usa um pijama e uma touca. Todos os pijamas e todas as toucas dessas bebês são iguais e a mãe delas sempre coloca, em cada uma, o pijama antes da touca, mas não coloca em uma mesma bebê, necessariamente, a touca imediatamente após colocar o pijama, de modo que a única condição para uma bebê vestir a touca é já estar de pijama. Por exemplo, a mãe pode primeiro colocar o pijama em todas elas e depois, em qualquer ordem, colocar as toucas. O número de maneiras ordenadas diferentes de essa mãe colocar os pijamas e as toucas em suas filhas é
A360.
B120.
C480.
D90.
E720.
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GabaritoD — 90.
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Resolução
Gabarito: letra D — a conta chega a 90 maneiras — alternativa D.
A ideia por trás
Análise combinatória é a parte da matemática que conta de quantas maneiras diferentes podemos organizar ou escolher elementos. Aqui temos 6 ações (3 pijamas e 3 toucas) que precisam ser colocadas em uma ordem, mas com uma regra: para cada bebê, o pijama deve vir antes da touca. Isso é um problema de permutação com restrição de ordem.
Quando temos n elementos distintos, o número de ordens possíveis é n! (fatorial). Mas quando há restrições, como 'P antes de T', precisamos dividir pelo número de ordens internas que violam a regra. Para cada bebê, entre o pijama e a touca, só uma ordem é válida (P antes de T), então dividimos por 2 para cada bebê. Como são 3 bebês, dividimos por 2³ = 8. O total sem restrição seria 6! = 720, então com a restrição fica 720 / 8 = 90.
Esta questão cobra exatamente essa divisão: contar todas as ordens possíveis das 6 ações e depois eliminar as que violam a condição de cada touca vir depois do pijama da mesma bebê.
O que a questão dá
3 bebês: Lalá, Lelé e Lili
cada bebê usa 1 pijama e 1 touca
pijamas e toucas são iguais entre si
regra: pijama antes da touca para cada bebê
O que queremos: o número de maneiras ordenadas de vestir os 3 pijamas e as 3 toucas
Passo 1 — Contar as ordens sem restrição
Primeiro, esquecemos a regra e contamos todas as maneiras de ordenar as 6 ações (3 pijamas e 3 toucas). Isso é uma permutação simples de 6 elementos distintos, pois cada ação é identificada pela bebê e pelo tipo (pijama ou touca).
Por que esta fórmula: O número de permutações de n elementos distintos é n!. Aqui n = 6, então 6!.
De onde vem cada valor: = definição: total de ações = 3 pijamas + 3 toucas
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer que as ações são distintas (cada bebê tem seu pijama e sua touca), contando apenas 3! ou 2!.
Passo 2 — Dividir pelas ordens inválidas de cada bebê
Das 720 ordens, muitas têm a touca antes do pijama da mesma bebê, o que é proibido. Para cada bebê, entre o pijama e a touca, só uma ordem é válida (P antes de T). Como são 3 bebês, precisamos dividir por 2 para cada uma, ou seja, por 2³.
Por que esta fórmula: Para cada bebê, metade das ordens tem P antes de T e metade tem T antes de P. Como a regra exige P antes de T, mantemos apenas metade. Para 3 bebês independentes, multiplicamos as frações: (1/2)³ = 1/8.
frac7202^3
De onde vem cada valor: = passo 1 · = definição: 3 bebês, cada uma com 2 ordens possíveis entre P e T
NÃO CAIA NESSA!
Dividir apenas por 2 em vez de 2³, esquecendo que são 3 bebês.