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Questão de Matemática — Geometria Analítica — VUNESP 2025

MatemáticaGeometria Analítica
Código
vu219404
Banca
VUNESP
Órgão
UNIFIPA
Ano
2025
Cargo
Vest Med ( )
No plano cartesiano, está representado um esboço do gráfico da função trigonométrica f(x) = 2 sen(x) – cos2(x), cujo período é igual a 2π. O número de soluções da equação 2 sen(x) – cos2(x) = - x3\frac{x}{3} éImagem associada para resolução da questão
  1. A5.
  2. B4.
  3. C6.
  4. D3.
  5. E7.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 5.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 5 soluções — alternativa A.

A ideia por trás

Uma equação com funções de tipos diferentes, como uma trigonométrica e uma reta, raramente se resolve por álgebra pura. O caminho é enxergar cada lado como uma função de x e procurar onde elas se encontram: cada ponto de interseção entre os dois gráficos é uma solução da equação. O número de soluções é exatamente o número de cruzamentos.

A função f(x) = 2 sen(x) – cos²(x) é periódica: repete seu formato a cada 2π. O termo 2 sen(x) oscila entre -2 e 2, e o termo -cos²(x) varia entre -1 e 0, então f fica entre -3 e 2. A outra função, g(x) = -x/3, é uma reta decrescente que passa pela origem. Como a reta varia lentamente, ela corta a curva ondulada em vários pontos dentro de um período.

Esta questão cobra a interpretação gráfica de uma equação: o número de soluções é o número de interseções entre o gráfico de f e a reta g. O esboço fornecido permite contar esses cruzamentos diretamente.

O que a questão dá

  • função f(x) = 2 sen(x) – cos²(x)

  • período de f = 2π

  • equação: 2 sen(x) – cos²(x) = -x/3

  • gráfico de f fornecido na questão

O que queremos: o número de soluções da equação no intervalo de um período

Passo 1 — Reescrever a equação como igualdade de funções

Para resolver graficamente, precisamos separar os dois lados da igualdade em duas funções independentes. Assim, cada solução da equação vira um ponto onde os gráficos se cruzam.

Por que esta fórmula: A equação original já está nesse formato: f(x) = g(x), com f(x) = 2 sen(x) – cos²(x) e g(x) = -x/3. Não há o que manipular.

f(x)=g(x)f(x) = g(x)

De onde vem cada valor: f(x)f(x) = enunciado: 2 sen(x) – cos²(x) · g(x)g(x) = enunciado: -x/3

2sin⁡(x)−cos⁡2(x)=−x32\sin(x) - \cos^{2}(x) = -\frac{x}{3}
NÃO CAIA NESSA!

Tentar resolver algebricamente isolando x — essa equação não tem solução analítica simples; o caminho é gráfico.

Passo 2 — Analisar o comportamento da função f

Para contar interseções, precisamos saber como a curva de f se comporta: seus máximos, mínimos e onde ela cruza o eixo x. Isso ajuda a prever quantas vezes a reta pode cortá-la.

Por que esta fórmula: O termo 2 sen(x) varia entre -2 e 2, e -cos²(x) varia entre -1 e 0. Somando, o valor mínimo é -3 (quando sen = -1 e cos² = 1) e o máximo é 2 (quando sen = 1 e cos² = 0).

−3≤f(x)≤2-3 \le f(x) \le 2

De onde vem cada valor: 2sen(x)2 sen(x) = enunciado: termo da função · −cos2(x)-cos^{2}(x) = enunciado: termo da função

−3≤2sin⁡(x)−cos⁡2(x)≤2-3 \le 2\sin(x) - \cos^{2}(x) \le 2

f varia entre -3 e 2

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que -cos²(x) é sempre não positivo, achando que o mínimo seria -2.

Passo 3 — Analisar o comportamento da reta g

A reta g(x) = -x/3 é decrescente e passa pela origem. Precisamos saber seus valores nos extremos do período para entender onde ela pode cruzar a curva.

Por que esta fórmula: A inclinação é -1/3, então para cada 3 unidades em x, g desce 1 unidade. No intervalo de um período, por exemplo [-π, π], g varia de π/3 ≈ 1,05 a -π/3 ≈ -1,05.

g(x)=−x3g(x) = -\frac{x}{3}

De onde vem cada valor: xx = definição: variável independente da função · −1/3-1/3 = enunciado: coeficiente angular da reta

g(−π)=π3≈1,05,g(π)=−π3≈−1,05=gvariade≈1,05a≈−1,05noperıˊodog(-\pi) = \frac{\pi}{3} \approx 1{,}05, \quad g(\pi) = -\frac{\pi}{3} \approx -1{,}05 = \boxed{\text{g} \text{varia} \text{de} ≈ 1,05 \text{a} ≈ -1,05 \text{no} \text{per}í\text{odo}}
NÃO CAIA NESSA!

Achar que a reta é horizontal ou que cruza o eixo x fora do período.

Passo 4 — Contar as interseções no gráfico

Com os dois gráficos desenhados, cada cruzamento é uma solução. O esboço da questão já mostra a curva de f; basta sobrepor a reta e contar.

Por que esta fórmula: Não há fórmula: a contagem é visual. No intervalo de um período, a reta corta a curva em 5 pontos distintos.

5 intersec\co~es\boxed{5\ \text{interse}çõ\text{es}}
NÃO CAIA NESSA!

Contar apenas os cruzamentos com o eixo x, ou esquecer de contar os que ocorrem perto dos extremos do período.

Resposta: 5 soluções — alternativa A

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