No plano cartesiano, os gráficos das funções f(x) = 8x – 15 e g(x) = kx2 – 4x + 3, sendo k uma constante real, têm em comum apenas o ponto de coordenadas (p, q) do primeiro quadrante.
fora de escala
O valor de q é
GabaritoE — 9.
Gabarito: letra E — a conta chega a q = 9 — alternativa E.
Uma função do segundo grau, como g(x) = kx² - 4x + 3, descreve uma parábola no plano cartesiano. O ponto de interseção entre duas funções é onde elas têm o mesmo valor de y para o mesmo x, ou seja, onde f(x) = g(x).
Igualar as duas funções gera uma equação do segundo grau em x, cujas raízes são as abscissas dos pontos de interseção. Quando a reta e a parábola têm apenas um ponto em comum, essa equação tem uma única solução real, o que ocorre quando o discriminante Δ = b² - 4ac é igual a zero. Isso permite determinar o valor de k.
Esta questão cobra exatamente essa condição: usar Δ = 0 para achar k e, depois, encontrar o ponto de interseção substituindo x em uma das funções.
f(x) = 8x - 15
g(x) = kx² - 4x + 3
os gráficos têm em comum apenas o ponto (p, q) do primeiro quadrante
O que queremos: o valor de q, a ordenada do ponto de interseção
No ponto de interseção, os valores de y são iguais, então f(x) = g(x). Isso transforma o problema geométrico em uma equação algébrica.
Por que esta fórmula: É a definição de interseção: os pontos que pertencem aos dois gráficos satisfazem ambas as equações.
De onde vem cada valor: = enunciado: f(x) = 8x - 15 · = enunciado: g(x) = kx² - 4x + 3
Esquecer de igualar as funções e tentar resolver separadamente.
Para aplicar a condição de tangência, precisamos da equação na forma padrão ax² + bx + c = 0.
Por que esta fórmula: A forma padrão facilita identificar os coeficientes a, b e c, necessários para calcular o discriminante.
De onde vem cada valor: = passo 1: termo de g(x) · = passo 1: -4x - 8x = -12x · = passo 1: 3 + 15 = 18 (constante)
Errar o sinal ao mover os termos: -15 vira +15.
Como os gráficos têm apenas um ponto em comum, a equação do segundo grau deve ter uma única raiz real, o que acontece quando o discriminante é zero.
Por que esta fórmula: O discriminante Δ = b² - 4ac determina o número de raízes reais: Δ > 0 dá duas, Δ = 0 dá uma, Δ < 0 dá nenhuma. Aqui, Δ = 0.
De onde vem cada valor: = passo 2: -12 · = passo 2: k · = passo 2: 18
Confundir com Δ < 0, que seria o caso de nenhum ponto em comum.
Com k = 2, a equação fica determinada e podemos encontrar a abscissa do ponto de interseção.
Por que esta fórmula: Substituir o valor de k na equação do passo 2 e simplificar.
De onde vem cada valor: = passo 3: k = 2 · = passo 2 · = passo 2
Não simplificar a equação, dificultando a fatoração.
Precisamos do valor de x (que será p) para depois calcular q.
Por que esta fórmula: A equação é um trinômio quadrado perfeito, então pode ser fatorada como (x - 3)² = 0.
De onde vem cada valor: = passo 4: 2x² - 12x + 18 = 2(x² - 6x + 9) = 2(x - 3)²
Tentar usar Bhaskara sem perceber que é um quadrado perfeito, gastando tempo.
Com a abscissa p = 3, substituímos em qualquer uma das funções para obter a ordenada do ponto de interseção.
Por que esta fórmula: Usamos f(x) = 8x - 15, que é mais simples.
De onde vem cada valor: = passo 5: x = 3 · = enunciado: f(x) = 8x - 15
Substituir em g(x) e errar o cálculo com k = 2.
Resposta: q = 9 — alternativa E
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