Questão de Matemática — Geometria Espacial — VUNESP 2025
Matemática›Geometria Espacial
Código
vu219406
Banca
VUNESP
Órgão
UNIFIPA
Ano
2025
Cargo
Vest Med ( )
Uma montagem foi feita com 1 cubo, 1 pirâmide e 2 paralelepípedos retorretângulos. Um dos paralelepípedos tem dois vértices em comum com o cubo e uma face em comum com o outro paralelepípedo. A base da pirâmide coincide com uma das faces do cubo e o vértice da pirâmide coincide com um vértice de um dos paralelepípedos, conforme a figura. O volume da pirâmide é igual a
A42 cm3.
B36 cm3.
C35 cm3.
D50 cm3.
E57 cm3.
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GabaritoD — 50 cm3.
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Resolução
Gabarito: letra D — a conta chega a 50 cm³ — alternativa D.
A ideia por trás
O volume de um sólido mede quanto espaço ele ocupa, e para uma pirâmide ele é sempre um terço do volume de um prisma com a mesma base e a mesma altura. A base da pirâmide é a face sobre a qual ela se apoia, e a altura é a distância perpendicular do vértice até o plano dessa base.
A fórmula é V = (1/3) · A_b · h, onde A_b é a área da base e h é a altura. Como a base aqui é um quadrado de lado l, A_b = l², então V = (1/3) · l² · h. Se você dobrar o lado da base, o volume quadruplica; se dobrar a altura, o volume dobra. Essa relação vale para qualquer pirâmide, desde que a base seja plana e a altura seja medida perpendicularmente.
Esta questão exige descobrir o lado da base (que é a aresta do cubo) e a altura da pirâmide a partir das relações de encaixe entre os sólidos, para então aplicar a fórmula do volume.
O que a questão dá
montagem com 1 cubo, 1 pirâmide e 2 paralelepípedos retorretângulos
base da pirâmide coincide com uma face do cubo
vértice da pirâmide coincide com um vértice de um dos paralelepípedos
um paralelepípedo tem dois vértices em comum com o cubo e uma face em comum com o outro
O que queremos: o volume da pirâmide
Passo 1 — Descobrir o lado da base da pirâmide
A base da pirâmide coincide com uma face do cubo, então ela é um quadrado com o mesmo lado do cubo. Precisamos desse lado para calcular a área da base.
Por que esta fórmula: A base é um quadrado, então sua área é lado ao quadrado. Mas primeiro precisamos do valor do lado, que vem da figura: o cubo tem aresta de 5 cm.
De onde vem cada valor: = enunciado: figura mostra aresta do cubo igual a 5 cm
NÃO CAIA NESSA!
Confundir o lado do cubo com outra medida da figura, como a altura de um paralelepípedo.
Passo 2 — Calcular a área da base da pirâmide
Com o lado da base conhecido, calculamos a área do quadrado, que é a base da pirâmide.
Por que esta fórmula: A área de um quadrado é lado vezes lado, pois é um retângulo de lados iguais.
De onde vem cada valor: = passo 1: 5 cm
NÃO CAIA NESSA!
Usar o lado em metros ou esquecer de elevar ao quadrado.
Passo 3 — Descobrir a altura da pirâmide
A altura é a distância do vértice da pirâmide até o plano da base. O vértice coincide com um vértice de um paralelepípedo, e a figura mostra que essa distância é 6 cm.
Por que esta fórmula: A altura é dada diretamente pela figura, não precisa de fórmula.
De onde vem cada valor: = enunciado: figura mostra distância vertical do vértice da pirâmide até a base igual a 6 cm
NÃO CAIA NESSA!
Usar a altura de um paralelepípedo em vez da altura da pirâmide.
Passo 4 — Aplicar a fórmula do volume da pirâmide
Com a área da base e a altura, aplicamos a fórmula do volume da pirâmide, que é um terço do produto da base pela altura.
Por que esta fórmula: O volume de qualquer pirâmide é um terço do volume de um prisma com a mesma base e altura, porque a pirâmide 'cabe' três vezes no prisma.
De onde vem cada valor: = passo 2: 25 cm² · = passo 3: 6 cm
