Questão de Matemática — Área e Perímetro do Triângulo — VUNESP 2025

Área do triângulo com ângulos na proporção 1:2:3

Gabarito: letra E — a área é $\dfrac{k^2\sqrt{3}}{2}\,\text{cm}^2$. Os ângulos internos, na proporção 1:2:3, somam 180°, logo são 30°, 60° e 90°: trata-se de um triângulo retângulo. O menor lado ($k$) é o cateto oposto ao menor ângulo (30°), e a área é calculada como metade do produto dos catetos, resultando em $\dfrac{k^2\sqrt{3}}{2}$.

A ideia por trás

Um triângulo tem seus ângulos internos somando sempre 180°. Quando o enunciado diz que eles estão na proporção 1:2:3, isso significa que existe um número $x$ tal que os ângulos são $x$, $2x$ e $3x$. Somando: $x + 2x + 3x = 6x = 180°$, logo $x = 30°$. Os ângulos são, portanto, 30°, 60° e 90° — um triângulo retângulo clássico.

Nesse triângulo, o menor lado é sempre o cateto oposto ao menor ângulo, ou seja, o cateto oposto a 30°. Se esse lado mede $k$, então o outro cateto (oposto a 60°) mede $k\sqrt{3}$, e a hipotenusa mede $2k$. Essa é a proporção fundamental do triângulo 30-60-90, que deriva diretamente das razões trigonométricas:

• $\sin 30° = \dfrac{1}{2}$ → cateto oposto a 30° = metade da hipotenusa.

• $\tan 60° = \sqrt{3}$ → cateto oposto a 60° = $\sqrt{3}$ vezes o cateto adjacente.

A área de um triângulo retângulo é metade do produto dos catetos. Com catetos $k$ e $k\sqrt{3}$:

A pegadinha da banca está em confundir essa área com a do triângulo equilátero ($\dfrac{L^2\sqrt{3}}{4}$) ou em esquecer de multiplicar pelo $\sqrt{3}$ ao calcular o segundo cateto. O candidato que identifica o triângulo 30-60-90 e aplica a proporção correta resolve em segundos.

Alternativa A — ❌ Incorreta

$\dfrac{k^2\sqrt{3}}{4}\,\text{cm}^2$ é a área de um triângulo equilátero de lado $k$, não a deste triângulo. Aqui os catetos são $k$ e $k\sqrt{3}$, e o produto deles dividido por 2 resulta em $\dfrac{k^2\sqrt{3}}{2}$ — exatamente o dobro. A banca troca o triângulo retângulo 30-60-90 pelo equilátero para induzir ao erro.

Alternativa B — ❌ Incorreta

$\dfrac{k^2}{2}\,\text{cm}^2$ seria a área de um triângulo retângulo isósceles com catetos $k$ e $k$ (ângulos 45°-45°-90°). Aqui, porém, o segundo cateto não é $k$, mas $k\sqrt{3}$, pois o ângulo oposto a ele é 60°. Esquecer o fator $\sqrt{3}$ leva a essa alternativa.

Alternativa C — ❌ Incorreta

$\dfrac{k\sqrt{3}}{2}\,\text{cm}^2$ tem dimensão de comprimento, não de área (falta o $k^2$). Esse valor corresponde, na verdade, à altura de um triângulo equilátero de lado $k$ ($h = \dfrac{k\sqrt{3}}{2}$), não à área de triângulo algum. A banca mistura fórmulas de altura com fórmulas de área.

Alternativa D — ❌ Incorreta

$\dfrac{k\sqrt{3}}{4}\,\text{cm}^2$ também tem dimensão de comprimento (falta o $k^2$). É a metade da altura do triângulo equilátero, ou seja, um valor sem significado geométrico direto aqui. O candidato que confunde as fórmulas de altura e área do triângulo equilátero pode cair nela.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Os ângulos são 30°, 60° e 90°. O menor lado $k$ é o cateto oposto a 30°. Pela proporção do triângulo 30-60-90, o outro cateto mede $k\sqrt{3}$. A área é metade do produto dos catetos:

Exatamente o valor da alternativa E.

Gabarito: letra E