Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — VUNESP 2025

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 5 ternas ordenadas — alternativa E.

A ideia por trás

Análise combinatória é a parte da matemática que conta de quantas maneiras diferentes algo pode acontecer, sem precisar listar tudo. Aqui, o 'algo' são as possíveis combinações de vitórias, empates e derrotas que uma equipe pode ter para chegar a 36 pontos em 20 jogos. Cada combinação é uma terna ordenada (v, e, d), onde a ordem importa: o primeiro número é sempre o de vitórias, o segundo o de empates e o terceiro o de derrotas.

O problema se traduz em um sistema de duas equações: uma para os pontos (3v + e = 36) e outra para o total de jogos (v + e + d = 20). Como v, e e d são números inteiros não negativos (não dá para ter -1 vitória), estamos contando as soluções inteiras desse sistema. A cada valor de v, as outras duas variáveis ficam determinadas, então o número de ternas é exatamente o número de valores inteiros que v pode assumir dentro das restrições.

Esta questão cobra justamente essa contagem: em vez de resolver o sistema e achar uma única solução, precisamos descobrir quantos valores de v satisfazem todas as condições. É isso que vamos fazer passo a passo.

O que a questão dá

• total de pontos = 36

• total de jogos = 20

• vitória vale 3 pontos

• empate vale 1 ponto

• derrota vale 0 pontos

O que queremos: o número máximo de ternas ordenadas (v, e, d) distintas possíveis

Passo 1 — Montar o sistema de equações

Antes de contar, precisamos traduzir o enunciado em linguagem matemática. Cada vitória dá 3 pontos, cada empate dá 1, e derrotas não dão pontos, então a soma 3v + e = 36 representa o total de pontos. Além disso, cada jogo termina em vitória, empate ou derrota, então v + e + d = 20 representa o total de jogos. Com essas duas equações, conseguimos relacionar as três incógnitas.

Por que esta fórmula: É a tradução direta do enunciado: a primeira equação vem dos pontos, a segunda do número de jogos. Não há outra relação entre as variáveis.

De onde vem cada valor: $3v$ = enunciado: cada vitória vale 3 pontos · $e$ = enunciado: cada empate vale 1 ponto · $36$ = enunciado: total de pontos · $v + e + d$ = enunciado: total de jogos é 20

Passo 2 — Expressar e em função de v

Com duas equações e três incógnitas, não dá para achar valores únicos. Mas podemos isolar uma variável em função de outra para reduzir o problema. Da equação de pontos, tiramos e = 36 - 3v, o que nos permite substituir na segunda equação e ficar com apenas duas variáveis.

Por que esta fórmula: Isolamos e porque ela aparece sem coeficiente na primeira equação, facilitando a substituição.

De onde vem cada valor: $36$ = passo 1: total de pontos · $3v$ = passo 1: pontos das vitórias

Passo 3 — Substituir e achar d em função de v

Agora que e está em função de v, substituímos na equação dos jogos para obter d também em função de v. Assim, cada valor de v determina e e d, e o problema vira uma contagem de valores possíveis de v.

Por que esta fórmula: Substituição direta na segunda equação do sistema.

De onde vem cada valor: $v$ = passo 1: número de vitórias · $e$ = passo 2: 36 - 3v · $20$ = passo 1: total de jogos

Passo 4 — Impor que e e d sejam não negativos

Números de vitórias, empates e derrotas não podem ser negativos. Isso restringe os valores possíveis de v. De e ≥ 0, temos v ≤ 12; de d ≥ 0, temos v ≥ 8. Juntando, v deve estar entre 8 e 12.

Por que esta fórmula: As desigualdades vêm diretamente das expressões de e e d: e = 36 - 3v ≥ 0 e d = 2v - 16 ≥ 0.

De onde vem cada valor: $e \geq 0$ = passo 2: e = 36 - 3v · $d \geq 0$ = passo 3: d = 2v - 16

Passo 5 — Contar os valores inteiros de v no intervalo

Cada valor inteiro de v entre 8 e 12 gera uma terna (v, e, d) válida. Como o intervalo é fechado, os valores são 8, 9, 10, 11 e 12 — cinco valores. Portanto, há cinco ternas distintas.

Por que esta fórmula: A contagem é direta: o número de inteiros de 8 a 12 inclusive é 12 - 8 + 1 = 5.

De onde vem cada valor: $12$ = passo 4: limite superior · $8$ = passo 4: limite inferior

Resposta: 5 ternas ordenadas — alternativa E