Questão de Matemática — Outros Tópicos e Questões Mescladas sobre Polígonos — VUNESP 2025

Geometria Plana: perímetro do triângulo ACE

Gabarito: letra C — o perímetro do triângulo ACE é $6 + 2\sqrt{3}$ cm. O caminho é: identificar os lados do triângulo ACE (AC, CE e AE), calcular cada um usando as relações métricas do retângulo e do triângulo isósceles, e somar. O lado CE é a base do retângulo ($2\sqrt{3}$ cm), o lado AE é o lado congruente do triângulo isósceles (2 cm), e o lado AC é a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos 2 cm e $2\sqrt{3}$ cm, que mede 4 cm. Somando: $4 + 2 + 2\sqrt{3} = 6 + 2\sqrt{3}$.

O problema combina duas figuras básicas: um retângulo e um triângulo isósceles. A chave é entender como elas se encaixam para formar o pentágono e, principalmente, como o triângulo ACE se relaciona com essas figuras. Vamos decompor o problema.

Primeiro, o retângulo BCDE tem lados $2\sqrt{3}$ cm e 2 cm. Isso significa que BE = CD = $2\sqrt{3}$ cm e BC = ED = 2 cm. O triângulo ABE é isósceles com lados congruentes AB = AE = 2 cm. Como o pentágono é formado pela união dessas duas figuras, o lado BE do retângulo coincide com a base do triângulo isósceles. Portanto, a base BE do triângulo ABE mede $2\sqrt{3}$ cm.

Agora, o triângulo ACE é formado pelos pontos A, C e E. O lado CE é um dos lados do retângulo, que mede $2\sqrt{3}$ cm (a base do retângulo). O lado AE é um dos lados congruentes do triângulo isósceles, que mede 2 cm. O lado AC é a diagonal que liga o vértice A ao vértice C do retângulo. Para calcular AC, precisamos perceber que o triângulo ACE é retângulo em E, pois o ângulo AEC é reto (o triângulo ABE é isósceles com base BE, e o ângulo AEB é reto, já que o retângulo BCDE tem ângulos retos). Assim, AC é a hipotenusa do triângulo retângulo AEC, com catetos AE = 2 cm e CE = $2\sqrt{3}$ cm. Pelo Teorema de Pitágoras:

Portanto, o perímetro do triângulo ACE é:

A pegadinha clássica é o candidato esquecer de somar o lado AE (2 cm) ou errar o cálculo da hipotenusa, achando que AC é $2\sqrt{3}$ ou outro valor. Vamos analisar cada alternativa.

Alternativa A — ❌ Incorreta

5 + 2√3 — Este valor seria obtido se o candidato somasse AC = 3 cm (erro no cálculo da hipotenusa) com CE = $2\sqrt{3}$ cm e AE = 2 cm, resultando em $3 + 2\sqrt{3} + 2 = 5 + 2\sqrt{3}$. O erro está em calcular AC como 3 cm, o que não corresponde ao Teorema de Pitágoras aplicado corretamente.

Alternativa B — ❌ Incorreta

4 + 3√3 — Este valor seria obtido se o candidato somasse AC = 4 cm com CE = $2\sqrt{3}$ cm e AE = $\sqrt{3}$ cm (erro ao identificar o lado AE). O erro está em considerar AE = $\sqrt{3}$ cm em vez de 2 cm, confundindo a medida do lado do triângulo isósceles com outra medida da figura.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

6 + 2√3 — Este é o valor correto. O perímetro do triângulo ACE é a soma dos lados AC = 4 cm, CE = $2\sqrt{3}$ cm e AE = 2 cm, resultando em $4 + 2\sqrt{3} + 2 = 6 + 2\sqrt{3}$ cm. A alternativa está correta porque aplica corretamente o Teorema de Pitágoras para encontrar AC e soma todos os lados do triângulo.

Alternativa D — ❌ Incorreta

3 + 4√3 — Este valor seria obtido se o candidato somasse AC = 3 cm (erro no cálculo da hipotenusa) com CE = $2\sqrt{3}$ cm e AE = $2\sqrt{3}$ cm (erro ao identificar o lado AE). O erro está em calcular AC como 3 cm e considerar AE = $2\sqrt{3}$ cm em vez de 2 cm.

Alternativa E — ❌ Incorreta

2 + 4√3 — Este valor seria obtido se o candidato somasse AC = 2 cm (erro no cálculo da hipotenusa) com CE = $2\sqrt{3}$ cm e AE = $2\sqrt{3}$ cm (erro ao identificar o lado AE). O erro está em calcular AC como 2 cm e considerar AE = $2\sqrt{3}$ cm em vez de 2 cm.

Gabarito: letra C