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Questão de Matemática — Função de Segundo Grau — VUNESP 2025

MatemáticaFunção de Segundo Grau
Código
vu219419
Banca
VUNESP
Órgão
PPS
Ano
2025
Cargo
1º AEM ( )
Uma agricultora quer colocar cerca em um espaço retangular do seu quintal, para fazer uma horta, utilizando parte do muro existente como um dos lados do retângulo. Ela comprou 80 metros de cerca de madeira para cercar os outros três lados, conforme representado na figura. Utilizando exatamente os 80 metros de cerca comprados, qual deve ser o comprimento da horta para maximizar a área cercada?Imagem associada para resolução da questão
  1. A40 m.
  2. B20 m.
  3. C26 m.
  4. D32 m.
  5. E60 m.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 40 m.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 40 m — alternativa A.

A ideia por trás

Uma função de segundo grau tem a forma f(x) = ax² + bx + c e seu gráfico é uma parábola. Quando o coeficiente a é negativo, a parábola abre para baixo e a função atinge um valor máximo no vértice — o ponto mais alto da curva. Esse vértice é o ponto em que a função deixa de crescer e começa a decrescer, e é exatamente onde está o valor que queremos maximizar.

O vértice de uma parábola f(x) = ax² + bx + c ocorre em x_v = -b/(2a). Nesse ponto, a função assume seu valor máximo (se a < 0) ou mínimo (se a > 0). Quanto maior o valor absoluto de a, mais fechada é a parábola; o sinal de b desloca o vértice para a esquerda ou direita. Essa fórmula vale para qualquer parábola, desde que a ≠ 0.

Aqui, a área da horta é uma função quadrática da largura x, e queremos o valor de x que a maximiza — ou seja, o vértice da parábola. Depois de achar a largura ótima, precisamos calcular o comprimento correspondente, que é o que a questão pede.

O que a questão dá

  • cerca disponível = 80 m

  • um lado é o muro existente

  • cerca usada em três lados: dois de largura e um de comprimento

O que queremos: o comprimento da horta (lado paralelo ao muro) que maximiza a área

Passo 1 — Escrever a relação entre largura e comprimento

A cerca de 80 m é usada em três lados: dois lados de largura x e um lado de comprimento y (o quarto lado é o muro). Precisamos de uma equação que ligue x e y para depois substituir na fórmula da área.

Por que esta fórmula: A soma dos três lados cercados é 2x + y = 80, pois são dois lados de largura e um de comprimento. Isolando y, obtemos y = 80 - 2x, que expressa o comprimento em função da largura.

y=80−2xy = 80 - 2x

De onde vem cada valor: 8080 = enunciado: 80 m de cerca · 2x2x = definição: dois lados de largura x

y=80−2xy = 80 - 2x
y=80 −2xy = \boxed{80\ - 2\text{x}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que são dois lados de largura e escrever y = 80 - x, o que daria comprimento errado.

Passo 2 — Montar a função da área

A área do retângulo é comprimento vezes largura. Com y já expresso em função de x, podemos escrever a área apenas em função de x, o que nos dá a função quadrática a maximizar.

Por que esta fórmula: A área de um retângulo é A = x · y. Substituindo y pela expressão do passo 1, obtemos A(x) = x(80 - 2x) = -2x² + 80x, que é uma função de segundo grau.

A(x)=x⋅(80−2x)=−2x2+80xA(x) = x \cdot (80 - 2x) = -2x^{2} + 80x

De onde vem cada valor: xx = definição: largura da horta · 80−2x80 - 2x = passo 1: comprimento y

A(x)=x⋅(80−2x)A(x) = x \cdot (80 - 2x)
A(x)=−2 x2+80xA(x) = \boxed{-2\ \text{x}^{2} + 80\text{x}}
NÃO CAIA NESSA!

Não expandir corretamente: x(80 - 2x) = 80x - 2x², e não 80x - 2x.

Passo 3 — Achar a largura que maximiza a área

Como a função A(x) tem coeficiente a = -2 < 0, a parábola abre para baixo e o vértice é o ponto de máximo. A fórmula do vértice nos dá diretamente a largura x que maximiza a área.

Por que esta fórmula: Para uma função quadrática f(x) = ax² + bx + c, o vértice (ponto de máximo ou mínimo) ocorre em x_v = -b/(2a). Aqui a = -2 e b = 80.

xv=−b2ax_v = -\frac{b}{2a}

De onde vem cada valor: bb = passo 2: coeficiente b da função A(x) = -2x² + 80x · aa = passo 2: coeficiente a da função A(x) = -2x² + 80x

xv=−802⋅(−2)=−80−4=20x_v = -\frac{80}{2 \cdot (-2)} = -\frac{80}{-4} = 20
x=20 mx = \boxed{20\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal: -b/(2a) com a negativo dá positivo; se esquecer o sinal de a, pode dar -20, que não faz sentido.

Passo 4 — Calcular o comprimento correspondente

A pergunta pede o comprimento, não a largura. Com a largura ótima x = 20 m, usamos a relação do passo 1 para achar o comprimento y.

Por que esta fórmula: Da equação y = 80 - 2x, substituímos x pelo valor encontrado no passo 3.

y=80−2xy = 80 - 2x

De onde vem cada valor: 8080 = enunciado: 80 m de cerca · xx = passo 3: 20 m

y=80−2⋅20=80−40=40=40 my = 80 - 2 \cdot 20 = 80 - 40 = 40 = \boxed{40\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Parar no passo 3 e marcar 20 m (largura) em vez de 40 m (comprimento) — é a pegadinha clássica.

Resposta: 40 m — alternativa A

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