Questão de Matemática — Área do Círculo, do Setor Circular e do Segmento Circular — VUNESP 2025

Área do círculo e proporcionalidade com o raio

Gabarito: letra D. Para quadruplicar a área do círculo, o raio deve ser dobrado, pois a área é proporcional ao quadrado do raio ($A = \pi r^2$): se $r$ vira $2r$, a área vira $\pi (2r)^2 = 4\pi r^2$, exatamente o quádruplo. Essa é a relação fundamental que a questão explora.

A área de um círculo é dada pela fórmula $A = \pi r^2$, em que $r$ é o raio e $\pi$ é uma constante (no enunciado, considerada como 3). A pergunta é: o que fazer com o raio para que a área fique 4 vezes maior? A resposta não é multiplicar o raio por 4 — isso quadruplicaria o raio, mas a área cresceria com o quadrado, ou seja, ficaria 16 vezes maior. A chave está em perceber que a área varia com o quadrado do raio. Se queremos que a área seja multiplicada por 4, precisamos que o raio seja multiplicado por $\sqrt{4} = 2$. Vamos verificar com um exemplo numérico: se o raio inicial é $r = 1$, a área é $A = \pi \cdot 1^2 = \pi$. Dobrando o raio para $r = 2$, a área vira $A = \pi \cdot 2^2 = 4\pi$, que é exatamente 4 vezes a área original. Se multiplicássemos o raio por 4 ($r = 4$), a área seria $\pi \cdot 4^2 = 16\pi$, ou seja, 16 vezes maior — muito além do desejado. Portanto, a operação correta é dobrar o raio.

Essa relação é um caso clássico de proporcionalidade: a área é diretamente proporcional ao quadrado do raio. Em termos práticos, se você dobra o raio, a área quadruplica; se triplica o raio, a área fica 9 vezes maior; se reduz o raio pela metade, a área fica 4 vezes menor. A banca explora exatamente essa confusão: muitos candidatos pensam que, para quadruplicar a área, basta multiplicar o raio por 4, esquecendo que a área cresce com o quadrado. A pegadinha está em inverter a relação: o fator de multiplicação da área é o quadrado do fator de multiplicação do raio.

Guarde essa regra de ouro: para multiplicar a área por $k$, multiplique o raio por $\sqrt{k}$. No caso, $k = 4$, então $\sqrt{4} = 2$. É exatamente esse critério que separa a alternativa correta das demais.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Multiplicar o raio por 4 faria a área ficar $\pi (4r)^2 = 16\pi r^2$, ou seja, 16 vezes maior, não 4 vezes. O erro está em aplicar o fator diretamente ao raio sem considerar o quadrado na fórmula da área.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Reduzir o raio pela metade faria a área ficar $\pi \left(\frac{r}{2}\right)^2 = \frac{\pi r^2}{4}$, ou seja, 4 vezes menor, não maior. Essa alternativa inverte completamente o efeito desejado.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Dividir o raio por 4 faria a área ficar $\pi \left(\frac{r}{4}\right)^2 = \frac{\pi r^2}{16}$, ou seja, 16 vezes menor. É o oposto do que se quer — reduzir drasticamente a área.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Dobrar o raio faz a área ficar $\pi (2r)^2 = 4\pi r^2$, exatamente o quádruplo da área original. É a única operação que atende ao pedido de quadruplicar a quantidade de luz, já que a área da claraboia é diretamente proporcional ao quadrado do raio.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Multiplicar o raio por 3 faria a área ficar $\pi (3r)^2 = 9\pi r^2$, ou seja, 9 vezes maior, não 4 vezes. O fator 3 aplicado ao raio resulta em um aumento muito superior ao necessário.

Gabarito: letra D