Questão de Matemática — Função Logarítmica e Inequações Logarítmicas — VUNESP 2025

Função Logarítmica: aplicação da definição

Gabarito: letra E. Para atingir o nível 20, precisamos resolver a equação $10 \cdot \log_{10}(x+1) = 20$, que resulta em $x+1 = 10^2 = 100$ e, portanto, $x = 100 - 1 = 99$. A alternativa E é a única que aplica corretamente a definição de logaritmo e isola a variável $x$.

A questão cobra a aplicação direta da definição de logaritmo: $\log_a(b) = c \iff a^c = b$. No contexto, temos a função $N(x) = 10 \cdot \log_{10}(x+1)$, onde $N(x)$ é o nível do jogador e $x$ é a quantidade de XP acumulada. Queremos descobrir o XP necessário para atingir o nível 20, ou seja, queremos encontrar $x$ tal que $N(x) = 20$.

O primeiro passo é substituir $N(x)$ por 20 na fórmula: $20 = 10 \cdot \log_{10}(x+1)$. Em seguida, isolamos o logaritmo dividindo ambos os lados da equação por 10, obtendo $\log_{10}(x+1) = 2$. Agora, aplicamos a definição de logaritmo: a base é 10, o logaritmo é 2, e o logaritmando é $x+1$. Portanto, $10^2 = x+1$, o que nos dá $100 = x+1$. Finalmente, subtraímos 1 de ambos os lados para isolar $x$: $x = 100 - 1 = 99$.

A pegadinha da questão está em dois pontos: primeiro, muitos candidatos podem esquecer de dividir por 10 antes de aplicar a definição, o que levaria a $x+1 = 20^2 = 400$ (alternativas B e C). Segundo, mesmo acertando a potência, é comum errar o sinal na hora de isolar $x$: como $x+1 = 100$, então $x = 100 - 1$ (subtração), e não $x = 100 + 1$ (adição), como na alternativa A. A alternativa D também erra ao dividir o expoente por 10, o que não é uma operação válida.

Guarde o passo a passo: substituir o valor da função, isolar o logaritmo, aplicar a definição e, por fim, isolar a variável com a operação inversa. É exatamente nessa sequência que as alternativas se dividem.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O erro está na última operação. A alternativa chega corretamente a $x+1 = 10^2 = 100$, mas ao isolar $x$, soma 1 em vez de subtrair: $x = 100 + 1 = 101$. Como a equação é $x+1 = 100$, devemos subtrair 1 de ambos os lados, resultando em $x = 99$. A alternativa confunde a operação inversa da adição.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O erro está na aplicação da definição de logaritmo. A alternativa usa 20 como base da potência, fazendo $x+1 = 20^2 = 400$. Isso ocorre porque o candidato não isolou o logaritmo antes de aplicar a definição: a equação correta é $\log_{10}(x+1) = 2$, e não $\log_{10}(x+1) = 20$. Além disso, mesmo que a potência estivesse correta, a alternativa também erra ao somar 1 em vez de subtrair no final.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Assim como a alternativa B, o erro está em usar 20 como base da potência, resultando em $x+1 = 20^2 = 400$. A diferença é que esta alternativa isola $x$ corretamente, subtraindo 1: $x = 400 - 1 = 399$. No entanto, o passo inicial já está errado, pois o logaritmo deve ser isolado primeiro, dividindo por 10.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Esta alternativa comete dois erros. Primeiro, divide o expoente por 10, o que não é uma operação válida na definição de logaritmo: $x+1 = \frac{20^2}{10} = 40$. A definição correta é $x+1 = 10^2 = 100$. Segundo, a alternativa apresenta uma soma incorreta no final: $x = 40 + 61 = 41$, quando deveria ser $x = 40 - 1 = 39$ (se a potência estivesse correta). A alternativa mistura operações inválidas e erros de aritmética.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta alternativa segue exatamente o procedimento correto. Primeiro, isola o logaritmo: $\log_{10}(x+1) = 2$. Depois, aplica a definição de logaritmo com base 10: $x+1 = 10^2 = 100$. Por fim, isola $x$ subtraindo 1: $x = 100 - 1 = 99$. O passo a passo está completo e matematicamente correto.

Gabarito: letra E