Questão de Matemática — Função de Segundo Grau — VUNESP 2025

Translação horizontal de funções quadráticas

Gabarito: letra A. A função $f(x+2)$ desloca o gráfico de $f(x)$ 2 unidades para a esquerda no eixo das abscissas, pois a substituição de $x$ por $x+2$ faz com que cada ponto da curva original se mova para a esquerda. Como $f(x) = (x-5)(x+3)$ tem raízes em $x=5$ e $x=-3$, a nova função $f(x+2) = (x-3)(x+5)$ terá raízes em $x=3$ e $x=-5$ — é esse deslocamento que identifica a alternativa correta.

O que é uma translação horizontal?

Quando escrevemos $f(x+2)$, estamos substituindo a variável $x$ por $x+2$ em toda a expressão da função. Isso não altera a forma da parábola (mesma concavidade, mesmo tamanho), apenas reposiciona o gráfico ao longo do eixo horizontal. A regra é: para $f(x+k)$, o gráfico desloca-se $k$ unidades para a esquerda se $k>0$, e para a direita se $k<0$. Isso contraria a intuição — muitos pensam que somar dentro do argumento desloca para a direita, mas é o oposto.

Aplicando à função dada

A função original $f(x) = (x-5)(x+3)$ é uma parábola com concavidade para cima (coeficiente $a=1>0$) e raízes em $x=5$ e $x=-3$. Para obter $f(x+2)$, substituímos:

As novas raízes são $x=3$ e $x=-5$. Observe que cada raiz original diminuiu 2 unidades: $5 \to 3$ e $-3 \to -5$. Isso confirma o deslocamento de 2 unidades para a esquerda. O vértice também acompanha: o vértice original está em $x_v = \frac{5+(-3)}{2} = 1$; o novo vértice está em $x_v = \frac{3+(-5)}{2} = -1$, exatamente 2 unidades à esquerda.

Por que a banca faz essa pegadinha?

A confusão clássica é inverter o sentido do deslocamento. O candidato que pensa "$+2$ desloca para a direita" marca o gráfico com raízes em $x=7$ e $x=-1$ (deslocamento para a direita), que é o erro mais comum. A regra de ouro: dentro do argumento, o sinal inverte — $f(x+2)$ move para a esquerda, $f(x-2)$ move para a direita.

Como identificar a alternativa correta na prova

Como todas as alternativas são gráficos, o critério decisivo é comparar as raízes. O gráfico correto deve ter a parábola cruzando o eixo $x$ em $x=-5$ e $x=3$, com concavidade para cima. Qualquer gráfico com raízes diferentes (como $x=5$ e $x=-3$, ou $x=7$ e $x=-1$) está incorreto.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta alternativa apresenta a parábola com raízes em $x=-5$ e $x=3$, exatamente o que $f(x+2) = (x-3)(x+5)$ produz. O deslocamento de 2 unidades para a esquerda está corretamente representado, mantendo a concavidade para cima.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Esta alternativa mostra o gráfico da função original $f(x)$, com raízes em $x=-3$ e $x=5$. O candidato que não aplica a substituição e apenas reconhece o gráfico dado no enunciado cai nessa armadilha. A questão pede $f(x+2)$, não $f(x)$.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Esta alternativa desloca o gráfico 2 unidades para a direita, com raízes em $x=-1$ e $x=7$. É o erro clássico de inverter o sentido: o candidato vê o "$+2$" e pensa que o gráfico deve mover-se para a direita, mas a regra é oposta.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Esta alternativa provavelmente inverte a concavidade (parábola para baixo) ou desloca verticalmente. Como $f(x+2)$ mantém o coeficiente $a=1>0$, a concavidade continua para cima. Qualquer gráfico com concavidade para baixo ou com deslocamento vertical está incorreto.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Esta alternativa pode representar um deslocamento de 2 unidades para a esquerda, mas com as raízes erradas (por exemplo, $x=-4$ e $x=4$), ou um deslocamento vertical. As raízes corretas são $x=-5$ e $x=3$; qualquer outra posição das raízes indica erro.

Gabarito: letra A