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Questão de Matemática — Quadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc) — VUNESP 2025

MatemáticaQuadriláteros (Propriedades, Área, Perímetro, Soma dos Ângulos, etc)
Código
vu219436
Banca
VUNESP
Órgão
PPS
Ano
2025
Cargo
1º AEM ( )
Dona Maria fez uma colcha retangular de medida 2,5 m por 3,0 m. Ela quer adicionar uma borda de mesma largura em todos os lados da colcha, usando exatamente 3 metros quadrados de renda.   Qual deve ser a largura da borda?
  1. A0,15 m.
  2. B0,20 m.
  3. C0,30 m.
  4. D0,25 m.
  5. E0,10 m.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoD — 0,25 m.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra D — a conta chega a 0,25 m — alternativa D.

A ideia por trás

A área de um retângulo é a medida da superfície que ele ocupa, calculada multiplicando o comprimento pela largura. Quando se adiciona uma borda de largura constante ao redor de um retângulo, o novo retângulo (original + borda) tem as dimensões aumentadas em duas vezes essa largura: uma para cada lado. A área da borda é a diferença entre a área do retângulo maior e a área do original.

Se a largura da borda é x, o comprimento do retângulo maior vira (comprimento original + 2x) e a largura vira (largura original + 2x). A área da borda é a diferença entre a área do retângulo maior e a área do original. Essa diferença, igualada à área de renda disponível, gera uma equação do segundo grau em x, que se resolve com a fórmula de Bhaskara. A raiz positiva é a largura procurada, pois largura não pode ser negativa.

Esta questão cobra exatamente a montagem dessa equação: calcular a área da borda como diferença de áreas e resolver a equação quadrática resultante. O passo crítico é lembrar de somar 2x em cada dimensão, não apenas x.

O que a questão dá

  • comprimento da colcha = 3,0 m

  • largura da colcha = 2,5 m

  • área da borda = 3 m²

O que queremos: a largura da borda, em metros

Passo 1 — Calcular a área da colcha original

Precisamos da área original para depois subtraí-la da área total e obter a área da borda. A área de um retângulo é o produto do comprimento pela largura.

Por que esta fórmula: A área de um retângulo é sempre base vezes altura; aqui, comprimento vezes largura.

Acolcha=c×lA_{colcha} = c \times l

De onde vem cada valor: cc = enunciado: 3,0 m · ll = enunciado: 2,5 m

Acolcha=3,0×2,5=7,5 m2A_{colcha} = 3{,}0 \times 2{,}5 = \boxed{7{,}5\ \text{m}^{2}}
NÃO CAIA NESSA!

Trocar os valores ou esquecer a unidade ao quadrado.

Passo 2 — Expressar as dimensões com a borda

A borda acrescenta a mesma largura x em todos os lados, então cada dimensão do retângulo maior é a original mais duas vezes x (uma de cada lado). Isso é essencial para montar a área total.

Por que esta fórmula: Se a borda tem largura x, o comprimento total é o comprimento original mais x à direita e x à esquerda, ou seja, +2x; o mesmo para a largura.

Ctotal=c+2x;Ltotal=l+2xC_{total} = c + 2x \quad ; \quad L_{total} = l + 2x

De onde vem cada valor: cc = enunciado: 3,0 m · ll = enunciado: 2,5 m · xx = definição: largura da borda (incógnita)

Ctotal=3,0+2x;Ltotal=2,5+2xC_{total} = 3{,}0 + 2x \quad ; \quad L_{total} = 2{,}5 + 2x
NÃO CAIA NESSA!

Usar apenas +x em cada dimensão, esquecendo que a borda existe dos dois lados.

Passo 3 — Montar a equação da área da borda

A área da borda é a diferença entre a área total (colcha + borda) e a área da colcha. Igualando essa diferença aos 3 m² de renda, obtemos a equação que determina x.

Por que esta fórmula: A área do retângulo maior é (c+2x)(l+2x); subtraindo a área da colcha (c·l), sobra exatamente a área da borda. O enunciado diz que essa área é 3 m².

(c+2x)(l+2x)−c⋅l=3(c + 2x)(l + 2x) - c \cdot l = 3

De onde vem cada valor: cc = enunciado: 3,0 m · ll = enunciado: 2,5 m · 33 = enunciado: área da borda = 3 m² · c⋅lc \cdot l = passo 1: 7,5 m²

(3,0+2x)(2,5+2x)−7,5=3(3{,}0 + 2x)(2{,}5 + 2x) - 7{,}5 = 3
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de subtrair a área da colcha, ou usar perímetro vezes largura (que ignora os cantos).

Passo 4 — Expandir e simplificar a equação

Para resolver a equação do segundo grau, precisamos colocá-la na forma padrão ax² + bx + c = 0. Expandimos o produto e simplificamos os termos constantes.

Por que esta fórmula: Aplicamos a propriedade distributiva: (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd. Depois subtraímos 7,5 dos dois lados para zerar o termo constante.

4x2+11x−3=04x^{2} + 11x - 3 = 0

De onde vem cada valor: 4x24x^{2} = definição: produto dos termos 2x·2x · 11x11x = definição: soma de 3,0·2x + 2,5·2x = 6x + 5x · −3-3 = constante: 7,5 - 7,5 - 3 = -3

4x2+11x−3=04x^{2} + 11x - 3 = 0
NÃO CAIA NESSA!

Errar a soma dos termos lineares (6x + 5x = 11x) ou esquecer de subtrair 3.

Passo 5 — Resolver a equação do segundo grau

Com a equação na forma padrão, aplicamos a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes. A raiz positiva é a largura da borda, pois largura não pode ser negativa.

Por que esta fórmula: A fórmula de Bhaskara resolve qualquer equação ax² + bx + c = 0: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a).

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}

De onde vem cada valor: aa = passo 4: 4 · bb = passo 4: 11 · cc = passo 4: -3 · −b-b = constante: -11 (oposto de b)

x=−11±112−4⋅4⋅(−3)2⋅4x = \frac{-11 \pm \sqrt{11^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (-3)}}{2 \cdot 4}

x = 0,25 m ou x = -3 m (descartada)

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o sinal de menos no discriminante, ou descartar a raiz negativa sem pensar.

Resposta: 0,25 m — alternativa D

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