Questão de Matemática — Função de Primeiro Grau — VUNESP 2025

Função de primeiro grau aplicada a problemas de custo

Gabarito: letra E. A ROTA LIVRE cobra menos que a VIA NOBRE para qualquer distância superior a 100 km, pois a função custo da ROTA LIVRE ($C_R = 120 + 0,8x$) é menor que a da VIA NOBRE ($C_V = 80 + 1,2x$) exatamente quando $x > 100$ km. A resolução vem da comparação das duas funções afim, igualando-as para achar o ponto de equilíbrio.

O problema envolve duas funções de primeiro grau (funções afim), que têm a forma geral $f(x) = ax + b$, onde $a$ é o coeficiente angular (a parte que varia com a distância) e $b$ é o coeficiente linear (a taxa fixa). Aqui, a variável independente $x$ é a distância percorrida em quilômetros, e a variável dependente é o custo total do aluguel.

Para a ROTA LIVRE: $C_R(x) = 120 + 0,8x$ (taxa fixa de R$ 120,00 mais R$ 0,80 por km). Para a VIA NOBRE: $C_V(x) = 80 + 1,2x$ (taxa fixa de R$ 80,00 mais R$ 1,20 por km).

O ponto de equilíbrio (onde os custos são iguais) é encontrado igualando as duas funções:

$120 + 0,8x = 80 + 1,2x$

Subtraindo $0,8x$ de ambos os lados: $120 = 80 + 0,4x$

Subtraindo 80 de ambos os lados: $40 = 0,4x$

Dividindo por 0,4: $x = 100$ km.

Portanto, para distâncias menores que 100 km, a VIA NOBRE é mais barata (porque tem taxa fixa menor); para distâncias maiores que 100 km, a ROTA LIVRE é mais barata (porque o custo por km é menor). No ponto exato de 100 km, os custos são iguais.

A pegadinha clássica é inverter o raciocínio: como a ROTA LIVRE tem taxa fixa maior, o candidato pode achar que ela nunca compensa, ou que só compensa para distâncias muito grandes. Mas o cálculo mostra que o ponto de virada é exatamente 100 km.

Guarde o critério: compare as funções, encontre o ponto de equilíbrio e analise o sinal da diferença $C_R - C_V$ para cada intervalo. É isso que separa as alternativas.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a ROTA LIVRE cobra menos para qualquer distância. Falso: para distâncias pequenas (por exemplo, 10 km), a VIA NOBRE é mais barata, pois $C_R(10) = 120 + 8 = 128$ e $C_V(10) = 80 + 12 = 92$. A ROTA LIVRE só compensa a partir de 100 km.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que a ROTA LIVRE cobra menos para qualquer distância superior a 80 km. Falso: para 90 km, por exemplo, $C_R(90) = 120 + 72 = 192$ e $C_V(90) = 80 + 108 = 188$, ou seja, a VIA NOBRE ainda é mais barata. O ponto de equilíbrio é 100 km, não 80 km.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que a ROTA LIVRE cobra menos para qualquer distância inferior a 10 km. Falso: para distâncias inferiores a 100 km, a VIA NOBRE é mais barata, pois tem taxa fixa menor. Por exemplo, a 10 km, a VIA NOBRE custa R$ 92,00 contra R$ 128,00 da ROTA LIVRE.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que a ROTA LIVRE cobra menos para qualquer distância inferior a 120 km. Falso: para distâncias entre 0 e 100 km, a VIA NOBRE é mais barata. A ROTA LIVRE só passa a ser mais barata para distâncias superiores a 100 km.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Correta: para qualquer distância superior a 100 km, a ROTA LIVRE cobra menos. Isso é demonstrado pelo ponto de equilíbrio calculado: $C_R = C_V$ quando $x = 100$ km. Para $x > 100$, o coeficiente angular menor da ROTA LIVRE (0,8 contra 1,2) faz com que seu custo total seja menor, apesar da taxa fixa maior.

Gabarito: letra E