Questão de Matemática — Congruência e Semelhança de Triângulos. Razão de Semelhança. — VUNESP 2025
Matemática›Congruência e Semelhança de Triângulos. Razão de Semelhança.
Código
vu219441
Banca
VUNESP
Órgão
PPS
Ano
2025
Cargo
1º AEM ( )
A figura ilustra um procedimento que pode fornecer a localização aproximada do celular de uma pessoa, definida pelo menor triângulo dentro do qual o celular se encontra. (Imagem criada por IA – Dall-E. Adaptado) Nesse esquema, os vértices do triângulo DEF são pontos médios dos lados do triângulo ABC, e os vértices do triângulo GHI são pontos médios dos lados do triângulo DEF. Dessa forma, obtêm-se triângulos inscritos, que são sempre semelhantes entre si, com uma razão de semelhança igual a \large 1 \over 2 . Sabendo-se que AB = 4 km, BC = 6 km e AC = 8 km, qual a medida de GH em km?
A1,5
B2,0
C1,0
D4,0
E6,0
Revelar gabarito e comentário▾
GabaritoC — 1,0
Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.
Resolução
Gabarito: letra C — a conta chega a GH = 1,0 km — alternativa C.
A ideia por trás
Dois triângulos são semelhantes quando têm a mesma forma, ou seja, ângulos iguais e lados correspondentes proporcionais. A razão de semelhança é o fator que multiplica os lados de um para obter os do outro: se a razão é 1/2, cada lado do triângulo menor vale metade do lado correspondente do maior.
Quando ligamos os pontos médios dos lados de um triângulo, o triângulo interno formado é semelhante ao original com razão 1/2, porque cada lado interno é paralelo a um lado do original e mede exatamente a metade (Teorema da Base Média). Se repetirmos a operação, a razão total é o produto das razões: (1/2) × (1/2) = 1/4.
A questão pede o lado GH, que está no segundo triângulo interno. Precisamos aplicar a razão de semelhança duas vezes, partindo do lado AB.
O que a questão dá
AB = 4 km
BC = 6 km
AC = 8 km
razão de semelhança entre triângulos consecutivos = 1/2
O que queremos: a medida de GH, lado do triângulo GHI
Passo 1 — Calcular o lado DE do primeiro triângulo interno
O triângulo DEF é formado pelos pontos médios de ABC, então cada lado de DEF é metade do lado correspondente de ABC. O lado DE corresponde a AB, então precisamos dividir AB por 2.
Por que esta fórmula: Pelo Teorema da Base Média, o segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e mede metade dele. Aqui, DE une os pontos médios de AB e AC, então DE = AB/2.
De onde vem cada valor: = enunciado: 4 km
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de dividir por 2 e usar AB = 4 km diretamente como DE.
Passo 2 — Calcular o lado GH do segundo triângulo interno
O triângulo GHI é formado pelos pontos médios de DEF, então cada lado de GHI é metade do lado correspondente de DEF. O lado GH corresponde a DE, então precisamos dividir DE por 2.
Por que esta fórmula: Aplicamos novamente o Teorema da Base Média, agora no triângulo DEF. GH une os pontos médios de DE e DF, então GH = DE/2.
De onde vem cada valor: = passo 1: 2 km
NÃO CAIA NESSA!
Parar no passo 1 e marcar 2,0 km (alternativa B), esquecendo que GHI é formado a partir de DEF.
