Questão de Matemática — Função de Segundo Grau — VUNESP 2025
Matemática›Função de Segundo Grau
Código
vu219449
Banca
VUNESP
Órgão
PPS
Ano
2025
Cargo
1º AEM ( )
Para montar uma turma de curso de reciclagem para motoristas, alguns itens devem ser analisados. Quanto mais alunos por turma, menor será o custo por aluno. Porém, numa turma com muitos alunos, alguns custos aumentam, pois será necessário ter um espaço maior e mais monitores, por exemplo. A partir dessa análise, considere a função C(x) = x2 – 20x + 300, em que C(x) representa o custo, em reais, de cada aluno para uma turma de x alunos. Para que se tenha um custo mínimo por aluno, o número de alunos dessa turma de reciclagem deverá ser de
A10 alunos.
B5 alunos.
C16 alunos.
D15 alunos.
E20 alunos.
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GabaritoA — 10 alunos.
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Resolução
Gabarito: letra A — a conta chega a 10 alunos — alternativa A.
A ideia por trás
Uma função do segundo grau tem a forma f(x) = ax² + bx + c e seu gráfico é uma parábola. Quando o coeficiente a é positivo, a parábola abre para cima, formando um vale; quando a é negativo, abre para baixo, formando um morro. O ponto mais baixo do vale (ou mais alto do morro) é chamado de vértice, e é exatamente onde a função atinge seu valor mínimo (ou máximo).
A coordenada x do vértice é sempre dada por x_v = -b/(2a), independentemente de a ser positivo ou negativo. Essa fórmula vem da simetria da parábola: o vértice fica no ponto médio entre as duas raízes, e a média das raízes é -b/a, que dividida por 2 dá -b/(2a). Se a > 0, o vértice é o ponto de mínimo; se a < 0, é o ponto de máximo.
A questão pede o custo mínimo por aluno, ou seja, o ponto de mínimo da função C(x). Como o coeficiente a = 1 é positivo, basta calcular o x do vértice usando a fórmula.
O que a questão dá
função custo por aluno: C(x) = x² - 20x + 300
x = número de alunos da turma
O que queremos: o número de alunos que torna o custo por aluno mínimo
Passo 1 — Calcular o x do vértice
O vértice da parábola é o ponto onde a função atinge seu valor mínimo (já que a > 0). A fórmula x_v = -b/(2a) nos dá exatamente esse ponto. Para usá-la, precisamos dos coeficientes a e b, que vêm da função: a = 1 (coeficiente de x²) e b = -20 (coeficiente de x).
Por que esta fórmula: É a fórmula padrão para a coordenada x do vértice de uma parábola, derivada da simetria da curva.
De onde vem cada valor: = enunciado: coeficiente de x na função C(x) = x² - 20x + 300, ou seja, -20 · = enunciado: coeficiente de x² na função C(x) = x² - 20x + 300, ou seja, 1
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer o sinal de menos na fórmula ou inverter o sinal de b, obtendo -10.
Passo 2 — Confirmar que é ponto de mínimo
A fórmula do vértice dá o ponto extremo, mas precisamos garantir que é mínimo e não máximo. Isso é decidido pelo sinal de a.
Por que esta fórmula: Se a > 0, a parábola abre para cima e o vértice é o ponto mais baixo (mínimo). Se a < 0, abre para baixo e é máximo.
NÃO CAIA NESSA!
Achar que o vértice é sempre mínimo, sem verificar o sinal de a.