GabaritoB — R$ 20,00
Gabarito: letra B — a conta chega a R$ 20,00 — alternativa B.
Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se uma constante (a razão) ao termo anterior. No dia a dia, isso aparece quando algo cresce sempre na mesma quantidade: aqui, João guarda R$ 10,00 na primeira semana e, a cada semana, R$ 5,00 a mais, formando a sequência 10, 15, 20, 25, 30.
Para saber o total economizado, usamos a soma dos n primeiros termos da PA: S_n = (a_1 + a_n) · n / 2, onde a_1 é o primeiro termo, a_n é o enésimo termo e n é o número de termos. Essa fórmula funciona porque, numa PA, a soma do primeiro com o último é igual à soma do segundo com o penúltimo, e assim por diante — então basta multiplicar essa soma constante pela metade do número de termos. Ela vale para qualquer PA, desde que se conheça o primeiro termo, o último e a quantidade de termos.
Esta questão pede o total economizado em 5 semanas, que é exatamente a soma dos 5 primeiros termos da PA. Depois de calcular essa soma, subtraímos do preço do livro para achar quanto falta.
preço do livro = R$ 120,00
primeira semana = R$ 10,00
aumento semanal = R$ 5,00
número de semanas = 5
O que queremos: quanto falta para comprar o livro após 5 semanas
A fórmula da soma da PA precisa do último termo (a_n). Como a sequência cresce sempre R$ 5,00, o valor da 5ª semana é o primeiro termo mais 4 aumentos.
Por que esta fórmula: O termo geral de uma PA é a_n = a_1 + (n-1)·r, onde r é a razão. Aqui, n = 5, a_1 = 10 e r = 5.
De onde vem cada valor: = enunciado: R$ 10,00 · = enunciado: R$ 5,00 · = enunciado: 5 semanas
= R$ 30,00
Esquecer de multiplicar 4 por 5 e achar que a 5ª semana é 10 + 5 = 15 — isso seria a 2ª semana.
A pergunta é quanto ele economizou no total, não quanto guardou na última semana. A soma dos 5 termos dá o total acumulado.
Por que esta fórmula: A fórmula da soma da PA é a mais direta: S_n = (a_1 + a_n) · n / 2. Ela evita somar termo a termo e funciona para qualquer quantidade de semanas.
De onde vem cada valor: = enunciado: R$ 10,00 · = passo 1: R$ 30,00 · = enunciado: 5 semanas
= R$ 100,00
Usar apenas o valor da 5ª semana (30) como total, esquecendo de somar as anteriores.
O que falta é a diferença entre o custo do livro e o que João já tem. Com o total em mãos, a conta é uma subtração simples.
Por que esta fórmula: Não há fórmula nova: falta = preço − total economizado.
De onde vem cada valor: = enunciado: preço do livro · = passo 2: R$ 100,00
= R$ 20,00
Subtrair o valor da 5ª semana (30) do preço, achando 90 — isso ignora as semanas anteriores.
Resposta: R$ 20,00 — alternativa B
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