Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — VUNESP 2025
Matemática›Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
vu219453
Banca
VUNESP
Órgão
PPS
Ano
2025
Cargo
2º AEM ( )
A figura mostra os trajetos de ônibus existentes entre as cidades A, B e C. Nela, é possível verificar que há quatro trajetos diferentes entre A e B e dois trajetos diferentes entre B e C. Os deslocamentos de A para C, assim como de C para A, exigem passar por B. Se um viajante não quiser usar o mesmo trajeto de ônibus para fazer a ida e a volta, de quantas maneiras diferentes ele pode fazer a viagem de A para C e retornar de C para A?
A8
B16
C24
D64
E32
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GabaritoC — 24
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Resolução
Gabarito: letra C — a conta chega a 24 maneiras — alternativa C.
A ideia por trás
O princípio fundamental da contagem (PFC) é a ferramenta básica para contar possibilidades: se uma escolha tem p opções e, depois dela, outra tem q opções, o total de combinações é p × q. Ele serve para decompor uma situação em etapas independentes e multiplicar as quantidades de cada uma.
A relação é simples: total = (opções da 1ª etapa) × (opções da 2ª etapa) × … . Cada etapa deve ser independente das anteriores, e a ordem importa. Quando há uma restrição (como não repetir um trajeto), ela reduz as opções de uma etapa posterior, e é preciso contá-la antes de multiplicar.
Aqui a viagem de ida tem duas etapas (A→B e B→C) e a volta também (C→B e B→A). A restrição de não repetir o trajeto usado na ida reduz as opções da volta, e é isso que precisamos calcular.
O que a questão dá
4 trajetos entre A e B
2 trajetos entre B e C
a volta de C para A também passa por B
não pode repetir o mesmo trajeto na volta
O que queremos: o número de maneiras de ir de A a C e voltar de C a A sem repetir trajeto
Passo 1 — Contar as maneiras de ir de A a C
Antes de pensar na volta, precisamos saber quantas combinações diferentes existem para a ida. A ida é composta por duas escolhas: o trajeto de A para B e o de B para C. Como são independentes, multiplicamos as quantidades.
Por que esta fórmula: Pelo princípio fundamental da contagem, o número de maneiras de fazer duas escolhas sucessivas é o produto das opções de cada uma.
De onde vem cada valor: = enunciado: 4 trajetos entre A e B · = enunciado: 2 trajetos entre B e C
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de multiplicar e responder apenas 4 ou 2, ou somar 4 + 2 = 6 em vez de multiplicar.
Passo 2 — Perceber que a volta tem 7 opções
A restrição central é não repetir o trajeto usado na ida. Como a ida usou exatamente um trajeto A→B e um B→C, na volta ele não pode usar o trajeto C→B correspondente ao B→C da ida, nem o B→A correspondente ao A→B da ida. Isso elimina uma combinação completa de volta, restando 7.
Por que esta fórmula: Não é uma fórmula, é uma contagem lógica: o total de combinações de volta é o mesmo da ida (8), mas uma delas é proibida, então subtraímos 1.
De onde vem cada valor: = passo 1: 8
NÃO CAIA NESSA!
Pensar que a volta tem 4 × 2 = 8 opções e multiplicar 8 × 8 = 64, ignorando a restrição.
Passo 3 — Multiplicar ida e volta
A viagem completa é a ida seguida da volta. Como cada ida pode ser combinada com cada volta permitida, multiplicamos as quantidades.
Por que esta fórmula: Novamente o PFC: o total de sequências é o produto das opções de cada etapa.
De onde vem cada valor: = passo 1: 8 · = passo 2: 7
NÃO CAIA NESSA!
Multiplicar 8 × 8 = 64 (alternativa D) ou subtrair apenas 1 da ida, obtendo 7 × 7 = 49 (que não está nas opções).
