Questão de Matemática — Cálculo de Seno e Cosseno no Triângulo Retângulo — VUNESP 2025

Cálculo de Seno e Cosseno no Triângulo Retângulo

Gabarito: letra A — a distância percorrida pelo avião nos 10 segundos é de $\frac{4000\sqrt{3}}{3}$ metros. A resolução usa a tangente dos ângulos de 30° e 60° para encontrar as distâncias horizontais do observador ao avião em cada instante, e a diferença entre elas é o deslocamento procurado.

A tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente a esse ângulo. No problema, o avião voa a uma altitude fixa de 2000 m, que é o cateto oposto aos ângulos de 30° e 60° medidos pelo observador no solo. O cateto adjacente é a distância horizontal entre o observador e o ponto diretamente abaixo do avião. Como a altitude é constante, podemos montar duas equações usando a tangente dos dois ângulos e, com elas, descobrir as duas distâncias horizontais. A diferença entre essas distâncias é exatamente o quanto o avião avançou em linha reta durante os 10 segundos.

Vamos chamar de $d_1$ a distância horizontal do observador ao avião no primeiro instante (ângulo de 30°) e de $d_2$ a distância no segundo instante (ângulo de 60°). Como o avião se aproxima do observador, $d_2 < d_1$, e a distância percorrida é $d_1 - d_2$.

Para o ângulo de 30°, temos:

Para o ângulo de 60°, temos:

A distância percorrida é:

A pegadinha clássica desta questão é inverter os catetos na fórmula da tangente: colocar a distância horizontal como cateto oposto e a altitude como cateto adjacente. Isso levaria a $d = 2000 \cdot \tan(ângulo)$, resultando em valores como $\frac{2000\sqrt{3}}{3}$ (alternativa B) ou $2000\sqrt{3}$ (alternativa C). É fundamental identificar que a altitude é o cateto oposto ao ângulo de observação, pois o ângulo é medido a partir do solo em direção ao avião.

Outra confusão comum é calcular apenas uma das distâncias ($d_1$ ou $d_2$) e marcar uma das alternativas, esquecendo que o problema pede a diferença entre elas. A alternativa D (4000) e a E ($\frac{4000}{3}$) são distratores que não correspondem a nenhuma etapa intermediária óbvia do cálculo correto, mas podem atrair quem tenta simplificar a expressão final de forma incorreta.

Guarde a estrutura: tangente do ângulo = altitude / distância horizontal. É essa relação que permite encontrar as duas distâncias e, por diferença, o deslocamento.

Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta é a resposta correta. Como demonstrado, a distância percorrida é $d_1 - d_2 = 2000\sqrt{3} - \frac{2000\sqrt{3}}{3} = \frac{4000\sqrt{3}}{3}$ metros. O cálculo usa corretamente a tangente de 30° e 60° para encontrar as distâncias horizontais e subtrai uma da outra.

Alternativa B — ❌ Incorreta

O valor $\frac{2000\sqrt{3}}{3}$ corresponde apenas à distância horizontal do observador ao avião no segundo instante ($d_2$), quando o ângulo é de 60°. Quem marca esta alternativa calcula somente uma das distâncias e não faz a diferença entre os dois instantes, esquecendo que o problema pede o deslocamento total nos 10 segundos.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $2000\sqrt{3}$ corresponde à distância horizontal do observador ao avião no primeiro instante ($d_1$), quando o ângulo é de 30°. Assim como na alternativa B, quem marca esta opção calcula apenas uma das distâncias, sem considerar que o avião se moveu entre as duas medições.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor 4000 não corresponde a nenhuma etapa correta do cálculo. Pode ser resultado de uma simplificação equivocada da expressão final, como considerar que $2000\sqrt{3} - \frac{2000\sqrt{3}}{3} = 2000 \cdot \frac{2\sqrt{3}}{3}$ e depois arredondar ou errar na manipulação algébrica. Não há fundamento matemático para este número.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $\frac{4000}{3}$ também não corresponde a nenhuma etapa correta do cálculo. Provavelmente é resultado de um erro ao lidar com as raízes quadradas, como cancelar indevidamente o $\sqrt{3}$ na expressão $\frac{4000\sqrt{3}}{3}$. A resposta correta mantém a raiz no numerador.

Gabarito: letra A