Questão de Matemática — Função de Primeiro Grau — VUNESP 2025

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 15 filmes — alternativa C.

A ideia por trás

Uma função de primeiro grau, ou função afim, descreve situações em que algo cresce (ou diminui) sempre na mesma proporção. Ela tem a forma f(x) = ax + b, onde b é o valor inicial fixo e a é o quanto cada unidade de x acrescenta ao total. Aqui, cada plano de streaming é uma função assim: o custo mensal começa na assinatura e aumenta R$ 3,00 (ou R$ 1,00) a cada filme assistido.

A relação que governa é a própria função afim: C(x) = a·x + b. O coeficiente a (o preço por filme) é a inclinação da reta — quanto maior, mais rápido o custo sobe; o coeficiente b (a assinatura) é onde a reta corta o eixo vertical. Para saber quando dois planos empatam, igualamos as duas funções e resolvemos a equação do 1º grau resultante, que sempre tem uma única solução.

Esta questão pede exatamente o ponto de equilíbrio entre duas funções afins: montar cada custo, igualá-los e isolar x. É a aplicação mais direta do conceito.

O que a questão dá

• Plataforma Vídeo em Casa: R$ 50,00 fixos + R$ 3,00 por filme

• Plataforma Mais Vídeo: R$ 80,00 fixos + R$ 1,00 por filme

O que queremos: o número de filmes que torna o custo total dos dois planos igual

Passo 1 — Montar a função de custo do primeiro plano

Para comparar os planos, precisamos de uma expressão que dê o custo total para qualquer quantidade de filmes. O plano Vídeo em Casa cobra um valor fixo de R$ 50,00 e mais R$ 3,00 por filme — isso é exatamente uma função afim, com b = 50 e a = 3.

Por que esta fórmula: A forma geral da função afim é C(x) = a·x + b, onde b é o custo fixo e a é o custo por unidade. Aqui, x é o número de filmes.

De onde vem cada valor: $50$ = enunciado: taxa de assinatura de R$ 50,00 · $3$ = enunciado: R$ 3,00 por filme · $x$ = definição: número de filmes assistidos no mês

Passo 2 — Montar a função de custo do segundo plano

O segundo plano tem a mesma estrutura, mas com outros valores: assinatura de R$ 80,00 e R$ 1,00 por filme. Precisamos da expressão dele para poder igualar as duas.

Por que esta fórmula: Mesma forma C(x) = a·x + b, agora com b = 80 e a = 1.

De onde vem cada valor: $80$ = enunciado: taxa de assinatura de R$ 80,00 · $1$ = enunciado: R$ 1,00 por filme · $x$ = definição: número de filmes assistidos no mês

Passo 3 — Igualar os dois custos

O ponto de equilíbrio é onde os dois planos custam o mesmo, ou seja, onde as duas funções têm o mesmo valor. Igualar as expressões é o passo que transforma o problema em uma equação do 1º grau.

Por que esta fórmula: Se C_1(x) = C_2(x), então 50 + 3x = 80 + x. Essa é a equação que vamos resolver.

De onde vem cada valor: $50 + 3x$ = passo 1: C_1(x) · $80 + x$ = passo 2: C_2(x)

Passo 4 — Isolar o x na equação

A equação do 1º grau precisa ser resolvida para descobrir quantos filmes empatam os planos. Isolar x significa deixá-lo sozinho de um lado, usando operações inversas.

Por que esta fórmula: Para isolar x, subtraímos x dos dois lados (para eliminar o x do lado direito) e depois subtraímos 50 dos dois lados (para eliminar o 50 do lado esquerdo). Isso mantém a igualdade.

De onde vem cada valor: $2x$ = passo 3: 3x - x = 2x · $30$ = passo 3: 80 - 50 = 30

Passo 5 — Dividir para achar o número de filmes

Com 2x = 30, o x está multiplicado por 2. Para isolá-lo, dividimos os dois lados por 2 — é a operação inversa da multiplicação.

Por que esta fórmula: Se 2x = 30, então x = 30 ÷ 2. Essa é a última operação para obter a resposta.

De onde vem cada valor: $30$ = passo 4: 2x = 30 · $2$ = passo 4: coeficiente de x

Resposta: 15 filmes — alternativa C