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Questão de Matemática — Semelhança entre Polígonos. Razão de Semelhança — VUNESP 2025

MatemáticaSemelhança entre Polígonos. Razão de Semelhança
Código
vu219458
Banca
VUNESP
Órgão
PPS
Ano
2025
Cargo
2º AEM ( )

Um estudante de engenharia civil precisa construir uma maquete de um prédio para um trabalho de uma disciplina. A janela da fachada desse prédio tem 12 m de altura e 9 m de base, conforme mostra a figura.

 

Imagem associada para resolução da questão

(Fora de escala)

(Imagem criada por IA – Dall-E)

 

Sabendo que a altura da janela da maquete precisa ser de 24 cm, a base da janela deve medir

  1. A15 cm.
  2. B18 cm.
  3. C42 cm.
  4. D48 cm.
  5. E24 cm.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 18 cm.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 18 cm — alternativa B.

A ideia por trás

Duas figuras são semelhantes quando têm a mesma forma, ou seja, ângulos correspondentes iguais e lados correspondentes proporcionais. Na prática, isso significa que uma é uma cópia ampliada ou reduzida da outra, como acontece em maquetes, plantas e mapas. A razão de semelhança é o fator constante que multiplica cada comprimento do objeto original para obter o comprimento correspondente na representação.

Se dois polígonos são semelhantes, a razão entre dois lados correspondentes é sempre a mesma. Por exemplo, se a altura de um retângulo é reduzida pela metade, a base também deve ser reduzida pela metade para manter a forma. Essa razão constante é chamada de razão de semelhança ou escala. Vale para qualquer par de lados correspondentes, desde que as unidades sejam as mesmas.

Esta questão cobra exatamente essa proporcionalidade: temos um par de lados correspondentes (as alturas) e precisamos usar a mesma razão para encontrar o outro par (as bases). O passo crítico é garantir que todas as medidas estejam na mesma unidade antes de calcular a razão.

O que a questão dá

  • altura real da janela = 12 m

  • base real da janela = 9 m

  • altura da janela na maquete = 24 cm

O que queremos: a base da janela na maquete

Passo 1 — Converter a altura real para centímetros

A altura da maquete está em centímetros, mas a altura real está em metros. Para comparar as duas e calcular a razão de semelhança, elas precisam estar na mesma unidade. Como 1 metro equivale a 100 centímetros, multiplicamos por 100.

Por que esta fórmula: A conversão de metros para centímetros usa a relação 1 m = 100 cm. Como o centímetro é uma unidade menor, o número em centímetros fica maior: multiplicamos.

12 m=12×100 cm12\ \text{m} = 12 \times 100\ \text{cm}

De onde vem cada valor: 1212 = enunciado: altura real da janela · 100100 = fator de conversão: 1 m = 100 cm

12×100=1200=1200 cm12 \times 100 = 1200 = \boxed{1200\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de converter e usar 12 m diretamente na razão, o que daria uma escala errada.

Passo 2 — Calcular a razão de semelhança

Com as alturas na mesma unidade, podemos descobrir o fator de redução da maquete. Esse fator é a razão entre a medida na maquete e a medida real correspondente.

Por que esta fórmula: A razão de semelhança é definida como o quociente entre um comprimento na representação e o comprimento correspondente no objeto real. Usamos as alturas porque são conhecidas.

k=altura na maquetealtura realk = \frac{\text{altura na maquete}}{\text{altura real}}

De onde vem cada valor: alturanamaquetealtura na maquete = enunciado: 24 cm · alturarealaltura real = passo 1: 1200 cm

k=241200=0,02k = \frac{24}{1200} = 0{,}02
k=0,02k = \boxed{0{,}02}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a razão, colocando a medida real sobre a da maquete, o que daria 50 em vez de 0,02.

Passo 3 — Converter a base real para centímetros

A base real está em metros, mas a base da maquete será calculada em centímetros. Precisamos converter para aplicar a razão de semelhança corretamente.

Por que esta fórmula: Mesma conversão do passo 1: 1 m = 100 cm, então multiplicamos por 100.

9 m=9×100 cm9\ \text{m} = 9 \times 100\ \text{cm}

De onde vem cada valor: 99 = enunciado: base real da janela · 100100 = fator de conversão: 1 m = 100 cm

9×100=900=900 cm9 \times 100 = 900 = \boxed{900\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de converter e usar 9 m diretamente, o que levaria a uma base de 0,18 m, que não é uma das alternativas.

Passo 4 — Aplicar a razão à base real

Agora que temos a razão de semelhança e a base real na mesma unidade, podemos encontrar a base da maquete multiplicando a base real pela razão.

Por que esta fórmula: Como a maquete é uma redução, cada dimensão real é multiplicada pela razão de semelhança k. Isso garante que a proporção entre altura e base seja mantida.

base na maquete=base real×k\text{base na maquete} = \text{base real} \times k

De onde vem cada valor: baserealbase real = passo 3: 900 cm · kk = passo 2: 0,02

base na maquete=900×0,02=18 cm\text{base na maquete} = 900 \times 0{,}02 = \boxed{18\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Multiplicar pela razão invertida (50), o que daria 45000 cm, um valor absurdo.

Resposta: 18 cm — alternativa B

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