Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Relações Métricas no Triângulo Retângulo (Inclui Teorema de Pitágoras) — VUNESP 2025

MatemáticaRelações Métricas no Triângulo Retângulo (Inclui Teorema de Pitágoras)
Código
vu219466
Banca
VUNESP
Órgão
PPS
Ano
2025
Cargo
2º AEM ( )
Um pingente será composto pela junção de duas peças iguais, feitas de metal, ambas com formato de triângulo isósceles, cuja medida dos lados congruentes é 10 mm e a medida da base é 12 mm. Para formar o pingente, as duas peças são unidas pelas bases, conforme ilustra a figura. Se não considerarmos as espessuras dos lados das peças, a altura h do pingente, ilustrada na figura anterior, será igual aImagem associada para resolução da questão
  1. A17 mm.
  2. B16 mm.
  3. C14 mm.
  4. D15 mm.
  5. E18 mm.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 16 mm.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 16 mm — alternativa B.

A ideia por trás

O triângulo isósceles é aquele que tem dois lados iguais, chamados de congruentes, e uma base diferente. A altura relativa à base é o segmento perpendicular que vai do vértice oposto até a base, e nesse tipo de triângulo ela sempre divide a base em duas partes iguais, criando dois triângulos retângulos idênticos. O Teorema de Pitágoras, por sua vez, vale para todo triângulo retângulo e relaciona os dois catetos com a hipotenusa: o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos catetos.

No triângulo retângulo formado pela altura, a hipotenusa é o lado congruente (10 mm), um cateto é a metade da base (6 mm) e o outro cateto é a própria altura. A relação é a² = b² + c², onde a é a hipotenusa. Se a hipotenusa cresce, a altura também cresce; se a base cresce, a metade da base cresce e a altura diminui, pois a hipotenusa é fixa. Essa relação vale apenas para triângulos retângulos, que é exatamente o que obtemos ao traçar a altura.

Esta questão pede a altura total de um pingente formado por dois triângulos isósceles iguais. Precisamos calcular a altura de um triângulo usando Pitágoras e depois somar as duas alturas, pois elas se unem pelas bases.

O que a questão dá

  • lado congruente do triângulo = 10 mm

  • base do triângulo = 12 mm

  • duas peças iguais unidas pelas bases

O que queremos: a altura total do pingente, formado por dois triângulos isósceles iguais

Passo 1 — Dividir a base ao meio

A altura de um triângulo isósceles sempre corta a base no ponto médio, formando dois triângulos retângulos. Para usar Pitágoras, precisamos do cateto horizontal, que é metade da base.

Por que esta fórmula: A base é 12 mm, e a altura a divide em duas partes iguais, então cada parte mede 12 ÷ 2 = 6 mm.

metade da base=122\text{metade da base} = \frac{12}{2}

De onde vem cada valor: 1212 = enunciado: base do triângulo = 12 mm

metade da base=122=6 mm\text{metade da base} = \frac{12}{2} = \boxed{6\ \text{mm}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar a base inteira (12 mm) como cateto no Pitágoras, o que daria raiz de número negativo.

Passo 2 — Calcular a altura de um triângulo

Agora temos um triângulo retângulo com hipotenusa 10 mm e um cateto 6 mm. O outro cateto é a altura que queremos, e o Teorema de Pitágoras permite encontrá-la.

Por que esta fórmula: No triângulo retângulo, a hipotenusa ao quadrado é a soma dos quadrados dos catetos. Aqui, a hipotenusa é o lado congruente (10 mm) e um cateto é a metade da base (6 mm).

h_tri = √(10^2 - 6^2)

De onde vem cada valor: 1010 = enunciado: lado congruente = 10 mm · 66 = passo 1: metade da base = 6 mm · 10210^{2} = constante: 10 ao quadrado = 100 · 626^{2} = constante: 6 ao quadrado = 36

htri=100−36=8 mmh_{tri} = \sqrt{100 - 36} = \boxed{8\ \text{mm}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de elevar ao quadrado antes de subtrair, ou usar 12 em vez de 6.

Passo 3 — Somar as alturas das duas peças

O pingente é formado por duas peças iguais unidas pelas bases, então a altura total é a soma das alturas de cada triângulo. Cada peça tem altura 8 mm.

Por que esta fórmula: Como as duas peças são idênticas e se empilham na vertical, a altura total é o dobro da altura de uma peça.

htotal=2×htrih_{total} = 2 \times h_{tri}

De onde vem cada valor: 22 = enunciado: duas peças iguais · htrih_{tri} = passo 2: 8 mm

htotal=2×8=16 mmh_{total} = 2 \times 8 = \boxed{16\ \text{mm}}
NÃO CAIA NESSA!

Parar no 8 mm e não somar as duas peças — esse valor nem aparece nas alternativas, o que indica que falta um passo.

Resposta: 16 mm — alternativa B

Link permanente: /questoes/vu219466