Questão de Matemática — Progressão Aritmética — VUNESP 2025
Matemática›Progressão Aritmética
Código
vu219468
Banca
VUNESP
Órgão
PPS
Ano
2025
Cargo
2º AEM ( )
Um projeto para captação de água da chuva prevê que a água coletada fique armazenada em um reservatório construído a partir de cisternas empilháveis. A primeira cisterna tem capacidade para 1 000 litros e cada cisterna adicional tem capacidade de 250 litros a mais do que a cisterna anterior. Qual é a capacidade total, em litros, de um reservatório construído com 10 cisternas?
A12 250 litros.
B12 500 litros.
C23 750 litros.
D3 250 litros.
E21 250 litros.
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GabaritoE — 21 250 litros.
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Resolução
Gabarito: letra E — a conta chega a 21 250 litros — alternativa E.
A ideia por trás
Uma progressão aritmética é uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante chamada razão. Aqui, as capacidades das cisternas formam uma PA: 1000, 1250, 1500, ... , cada uma com 250 litros a mais que a anterior. O problema pede a soma desses 10 termos, ou seja, a capacidade total do reservatório.
A soma dos n primeiros termos de uma PA é dada por S_n = (a_1 + a_n) * n / 2, onde a_1 é o primeiro termo, a_n é o último termo e n é o número de termos. O termo geral é a_n = a_1 + (n-1) * r, com r sendo a razão. A soma cresce com o número de termos e com o tamanho do primeiro e do último termo; quanto maior a razão, mais rápido cresce o último termo e, consequentemente, a soma.
Esta questão cobra exatamente a aplicação da fórmula da soma dos termos de uma PA. Precisamos identificar a_1, r e n, calcular o décimo termo e então somar todos os termos.
O que a questão dá
capacidade da primeira cisterna = 1000 litros
acréscimo por cisterna adicional = 250 litros
número de cisternas = 10
O que queremos: a capacidade total do reservatório com 10 cisternas
Passo 1 — Identificar os dados da progressão
Antes de qualquer conta, precisamos reconhecer que as capacidades formam uma PA e extrair dela o primeiro termo, a razão e o número de termos. Isso é o que permite escolher a fórmula certa.
Por que esta fórmula: Não há fórmula aqui; é apenas a leitura do enunciado: a primeira cisterna tem 1000 litros (a_1), cada adicional soma 250 (r), e são 10 cisternas (n).
a_1 = 1000, r = 250, n = 10
NÃO CAIA NESSA!
Confundir o número de acréscimos com o número de termos: são 10 cisternas, mas apenas 9 acréscimos de 250.
Passo 2 — Calcular a capacidade da décima cisterna
A fórmula da soma precisa do último termo (a_10). Como cada cisterna adiciona 250 litros, a décima tem 9 acréscimos em relação à primeira.
Por que esta fórmula: O termo geral da PA é a_n = a_1 + (n-1)*r. Ele serve para achar qualquer termo sem precisar escrever a sequência inteira.
De onde vem cada valor: = passo 1: 1000 · = passo 1: 250
NÃO CAIA NESSA!
Usar 10 em vez de 9 no fator (n-1), o que daria 3500 e levaria à alternativa C.
Passo 3 — Aplicar a fórmula da soma dos termos
Com o primeiro e o último termo, a soma dos 10 termos é direta. A fórmula da soma evita somar os 10 números um a um.
Por que esta fórmula: A soma dos n primeiros termos de uma PA é a média entre o primeiro e o último termo multiplicada pelo número de termos: S_n = (a_1 + a_n) * n / 2.
De onde vem cada valor: = passo 1: 1000 · = passo 2: 3250 · = passo 1: número de cisternas
NÃO CAIA NESSA!
Confundir a soma com o último termo: 3250 é a capacidade da décima cisterna, não a total.