Matemática · VUNESP · 2025 | Questão sqc-vu219470

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 80 maneiras — alternativa A.

A ideia por trás

Combinação é a contagem de grupos quando a ordem dos escolhidos não importa: escolher as famílias A, B e C é o mesmo que escolher C, B e A. A fórmula C(n,k) = n! / (k!(n-k)!) conta quantos grupos de k elementos podemos formar a partir de n disponíveis, e é usada sempre que a seleção é feita sem reposição e sem ordem.

Quando o problema impõe uma condição como 'pelo menos 2', dividimos em casos que satisfazem a condição e somamos as contagens de cada caso, porque são situações que não podem acontecer ao mesmo tempo. Dentro de cada caso, usamos o princípio multiplicativo: se uma escolha tem a possibilidades e outra tem b, o total de combinações é a × b.

Aqui precisamos separar os casos que atendem à restrição: exatamente 2 com filhos e 1 sem, ou as 3 com filhos. Somar as duas contagens dá o total pedido.

O que a questão dá

total de famílias = 10
famílias com filhos = 6
famílias sem filhos = 4
famílias a selecionar = 3
condição: pelo menos 2 com filhos

O que queremos: o número de maneiras de escolher 3 famílias com pelo menos 2 que tenham filhos

Passo 1 — Calcular as combinações de 2 com filhos e 1 sem

A condição 'pelo menos 2 com filhos' inclui o caso de exatamente 2 com filhos e 1 sem. Precisamos contar quantos grupos assim existem, e para isso escolhemos separadamente as famílias com filhos e as sem filhos.

Por que esta fórmula: Como a ordem não importa, usamos combinação. Para as 2 com filhos, escolhemos entre 6; para a 1 sem, entre 4. O 'e' entre as escolhas indica multiplicação.

C(6{,}2) \times C(4{,}1)

De onde vem cada valor: $6$ = enunciado: famílias com filhos · $2$ = constante: quantidade de com filhos a escolher · $4$ = enunciado: famílias sem filhos (10 - 6) · $1$ = constante: quantidade de sem filhos a escolher

C(6{,}2) = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2} = 15; C(4{,}1) = 4; 15 \times 4 = 60 = \boxed{60\ \text{maneiras}}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar pelas escolhas das famílias sem filhos, ficando só com 15.

Passo 2 — Calcular as combinações de 3 com filhos

O caso de 3 famílias com filhos também satisfaz 'pelo menos 2'. Precisamos contar essas escolhas separadamente, pois são um caso distinto do anterior.

Por que esta fórmula: Escolhemos 3 entre as 6 famílias com filhos, sem ordem, então é uma combinação simples.

C(6{,}3)

De onde vem cada valor: $6$ = enunciado: famílias com filhos · $3$ = constante: quantidade a escolher

C(6{,}3) = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20 = \boxed{20\ \text{maneiras}}

NÃO CAIA NESSA!

Calcular C(6,3) como 6×5×4 = 120 sem dividir por 3!, o que dá 6 vezes o valor correto.

Passo 3 — Somar os dois casos possíveis

Os dois casos são mutuamente exclusivos: ou escolhemos exatamente 2 com filhos, ou escolhemos 3 com filhos. Como ambos satisfazem a condição, o total é a soma das contagens.

Por que esta fórmula: O princípio aditivo diz que, para eventos que não podem ocorrer juntos, somamos as possibilidades.

60 + 20

De onde vem cada valor: $60$ = passo 1 · $20$ = passo 2

60 + 20 = 80 = \boxed{80\ \text{maneiras}}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de somar e marcar apenas 60 (caso 1) ou 20 (caso 2).

Resposta: 80 maneiras — alternativa A

Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — VUNESP 2025

Resolução

A ideia por trás

O que a questão dá

Passo 1 — Calcular as combinações de 2 com filhos e 1 sem

Passo 2 — Calcular as combinações de 3 com filhos

Passo 3 — Somar os dois casos possíveis