Matemática · VUNESP · 2025 | Questão sqc-vu219471

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a 1,80 m² — alternativa C.

A ideia por trás

A área de um triângulo é a medida da superfície que ele ocupa, em metros quadrados. A fórmula mais conhecida é base vezes altura dividido por dois, mas ela exige conhecer a altura, que nem sempre é dada. Existe uma fórmula alternativa que usa dois lados e o seno do ângulo entre eles, evitando o cálculo da altura.

A fórmula trigonométrica da área é A = (1/2) · a · b · sen(θ), onde a e b são dois lados do triângulo e θ é o ângulo formado entre eles. Ela vem da fórmula clássica: se tomamos um lado como base, a altura relativa a ele é o outro lado multiplicado pelo seno do ângulo entre eles. Assim, a área cresce com o produto dos lados e com o seno do ângulo — quanto maior o ângulo (até 90°), maior a área, e para ângulos obtusos o seno ainda é positivo, mas menor que 1.

Nesta questão, os dois lados conhecidos são 1,5 m e 2,5 m, mas o ângulo entre eles não é dado diretamente — são dados os outros dois ângulos do triângulo. O passo crucial é descobrir o terceiro ângulo, que é o que falta para completar 180°, e então aplicar a fórmula.

O que a questão dá

lado a = 1,5 m
lado b = 2,5 m
ângulo agudo 1 = 32°
ângulo agudo 2 = 42°
sen(42°) = 0,67
sen(32°) = 0,53
sen(106°) = 0,96

O que queremos: a área aproximada do tampo triangular da mesa

Passo 1 — Somar os ângulos conhecidos

Em qualquer triângulo, a soma dos três ângulos internos é sempre 180°. Como conhecemos dois deles, somá-los é o primeiro passo para descobrir o terceiro, que é o ângulo entre os lados de 1,5 m e 2,5 m.

Por que esta fórmula: A soma dos ângulos internos de um triângulo é uma propriedade fundamental: 180°. Não há outra fórmula aqui.

S = 32° + 42°

De onde vem cada valor: $32°$ = enunciado: ângulo agudo 1 · $42°$ = enunciado: ângulo agudo 2

S = 32 + 42 = \boxed{74\ ^\circ}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que a soma é 180° e tentar usar 360° — isso daria um ângulo negativo.

Passo 2 — Calcular o terceiro ângulo

O ângulo entre os lados de 1,5 m e 2,5 m é o que falta para completar 180°. Sem ele, não podemos usar a fórmula da área, pois precisamos do ângulo entre os dois lados conhecidos.

Por que esta fórmula: A soma dos ângulos internos é 180°, então o terceiro ângulo é 180° menos a soma dos outros dois.

\theta = 180° - S

De onde vem cada valor: $S$ = passo 1: 74°

\theta = 180 - 74 = \boxed{106\ ^\circ}

NÃO CAIA NESSA!

Usar 32° ou 42° diretamente como o ângulo entre os lados — isso levaria a uma área errada.

Passo 3 — Aplicar a fórmula da área com seno

Agora temos os dois lados e o ângulo entre eles, que são exatamente os ingredientes da fórmula trigonométrica da área. Essa fórmula evita calcular a altura, que não foi dada.

Por que esta fórmula: A fórmula A = (1/2)·a·b·sen(θ) é a mais direta quando conhecemos dois lados e o ângulo entre eles. Ela vem de A = base × altura / 2, onde a altura é b·sen(θ) se tomamos a como base.

A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\theta)

De onde vem cada valor: $a$ = enunciado: 1,5 m · $b$ = enunciado: 2,5 m · $\theta$ = passo 2: 106° · $\sin(\theta)$ = enunciado: sen(106°) = 0,96

A = \frac{1}{2} \cdot 1{,}5 \cdot 2{,}5 \cdot 0{,}96 = \boxed{1{,}80\ \text{m}^{2}}

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de dividir por 2 — isso daria 3,60 m², que não está nas alternativas, mas mostra a importância de não pular passos.

Resposta: 1,80 m² — alternativa C

Questão de Matemática — Área e Perímetro do Triângulo — VUNESP 2025

Resolução

A ideia por trás

O que a questão dá

Passo 1 — Somar os ângulos conhecidos

Passo 2 — Calcular o terceiro ângulo

Passo 3 — Aplicar a fórmula da área com seno