Questão de Matemática — Proporções. Grandezas Proporcionais. Divisão em Partes Proporcionais — VUNESP 2025

Proporcionalidade entre área do círculo e raio

Gabarito: letra D. A quantidade de luz captada é diretamente proporcional à área da abertura, e a área do círculo é $A_c = \pi r^2$ — ou seja, cresce com o quadrado do raio, não linearmente. A alternativa D é a única que expressa corretamente essa relação.

A questão mistura dois conceitos que costumam confundir: proporcionalidade direta e função crescente. Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, ao multiplicar uma por um fator $k$, a outra também é multiplicada por $k$. Por exemplo, se 1 kg de picanha custa R$ 50,00, 2 kg custam R$ 100,00 — dobrou a quantidade, dobrou o preço. Mas nem toda grandeza que cresce junto é proporcional: a área de um quadrado cresce com o quadrado do lado, e não proporcionalmente ao lado. Se o lado triplica (de 2 para 6), a área vai de 4 para 36 — multiplicou por 9, não por 3. É exatamente esse o caso da lente: a área (e, portanto, a luz captada) é proporcional a $r^2$, não a $r$.

A fórmula $A_c = \pi r^2$ mostra que a área é o produto de uma constante ($\pi$) pelo quadrado do raio. Isso significa que, se o raio dobra, a área quadruplica ($2^2 = 4$); se triplica, a área fica 9 vezes maior ($3^2 = 9$). A luz captada segue a mesma proporção, pois depende diretamente da área. A pegadinha da banca está em trocar "quadrado do raio" por "raio" — a alternativa C, por exemplo, diz que a luz é proporcional a $\pi \cdot r$, o que seria uma relação linear, não quadrática.

Na prática, é isso que explica por que lentes com abertura maior (maior raio) captam muito mais luz: um pequeno aumento no raio gera um aumento bem maior na área. Por exemplo, uma lente com raio 2 cm tem área $4\pi$ cm²; uma com raio 4 cm (o dobro) tem área $16\pi$ cm² — quatro vezes mais área, quatro vezes mais luz.

Guarde a distinção central: proporcionalidade direta exige que o quociente entre as grandezas seja constante. No caso da área do círculo, $A_c / r^2 = \pi$ (constante), mas $A_c / r = \pi r$ (não é constante). É nesse critério que as alternativas se separam.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que a luz cresce de forma linear com o raio. Isso seria verdade se a área fosse proporcional a $r$, mas a fórmula é $A_c = \pi r^2$: a relação é quadrática, não linear. A banca troca "quadrado do raio" por "raio" — armadilha clássica.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Diz que aumentar o raio diminui a luz captada. Isso contraria a fórmula: como $r^2$ cresce quando $r$ cresce (para $r > 0$), a área — e a luz — também cresce. A relação é crescente, nunca decrescente.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que a luz é proporcional a $\pi \cdot r$. Isso seria uma relação linear, mas a fórmula correta é $\pi \cdot r^2$. O erro está em omitir o quadrado do raio — a banca troca "$r^2$" por "$r$".

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Exatamente a definição: a luz captada é diretamente proporcional ao quadrado do raio da abertura, pois $A_c = \pi r^2$ e a luz depende diretamente da área. Se o raio dobra, a luz quadruplica; se triplica, fica 9 vezes maior.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Diz que se o raio dobra, a luz também dobra. Isso seria verdade para proporcionalidade linear, mas aqui a relação é com o quadrado: dobrando o raio, a área (e a luz) quadruplica ($2^2 = 4$). A banca explora a confusão entre crescimento linear e quadrático.

Gabarito: letra D