Questão de Matemática — Congruência e Semelhança de Triângulos. Razão de Semelhança. — VUNESP 2025
Matemática›Congruência e Semelhança de Triângulos. Razão de Semelhança.
Código
vu219481
Banca
VUNESP
Órgão
PPS
Ano
2025
Cargo
2º AEM ( )
A figura apresenta dois triângulos isósceles PQR e STR, em que os PQ e ST são paralelos, com PQ = 30 cm e ST = 60 cm, e PT e QS se cruzando no ponto R. Considerando PR = x e TR = y, a relação entre x e y é igual a
Ay = x^2
By = {\large x \over 2}
Cy = x + 30
Dy = 2x
Ey = 30x
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GabaritoD — y = 2x
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Semelhança de Triângulos: razão de semelhança
Gabarito: letra D — a relação entre x e y é y = 2x. Como PQ e ST são paralelos, os triângulos PQR e STR são semelhantes pelo caso AA (ângulo-ângulo), e a razão de semelhança é dada pela razão entre os lados correspondentes: ST/PQ = 60/30 = 2. Assim, o lado TR (y) é o dobro do lado PR (x), ou seja, y = 2x.
A semelhança de triângulos é um dos conceitos mais cobrados em geometria plana. Dois triângulos são semelhantes quando possuem os três ângulos internos ordenadamente congruentes (mesma medida) e os lados correspondentes (homólogos) são proporcionais. Isso significa que um é uma "ampliação" ou "redução" do outro, mantendo a forma, mas alterando o tamanho.
O caso mais usado para provar a semelhança é o AA (ângulo-ângulo): se dois ângulos de um triângulo são congruentes a dois ângulos de outro, os triângulos são semelhantes. Isso é suficiente porque, se dois ângulos são iguais, o terceiro também será (a soma dos ângulos internos é sempre 180°).
Na figura, temos os triângulos PQR e STR. O ponto R é o vértice comum aos dois triângulos, e os segmentos PT e QS se cruzam exatamente em R. Como PQ é paralelo a ST, os ângulos formados são congruentes:
O ângulo em P do triângulo PQR é igual ao ângulo em S do triângulo STR (são ângulos alternos internos formados pela transversal PT).
O ângulo em Q do triângulo PQR é igual ao ângulo em T do triângulo STR (são ângulos alternos internos formados pela transversal QS).
Portanto, pelo caso AA, os triângulos PQR e STR são semelhantes.
A razão de semelhança (k) é a razão entre dois lados correspondentes quaisquer. Os lados PQ e ST são correspondentes, pois ambos estão entre os vértices que formam os ângulos congruentes. Assim:
Isso significa que todos os lados do triângulo STR são o dobro dos lados correspondentes do triângulo PQR. Os lados PR e TR também são correspondentes: PR está entre o vértice P e o vértice comum R, e TR está entre o vértice T e o vértice comum R. Como o triângulo STR é o dobro do PQR, temos:
Substituindo pelos valores dados no enunciado (PR = x e TR = y):
A pegadinha clássica deste tipo de questão é inverter a razão de semelhança. Como o triângulo maior é o STR (ST = 60 cm) e o menor é o PQR (PQ = 30 cm), a razão do maior para o menor é 2. Se o candidato montar a razão ao contrário (menor/maior = 1/2), chegaria a y = x/2, que é a alternativa B — um distrator clássico. A dica é sempre identificar qual triângulo é o maior e qual é o menor antes de montar a proporção.
Relação entre lados correspondentes — só Triângulo PQR: x; só Triângulo STR: y; Triângulo PQR∩Triângulo STR: 2
Alternativa A — ❌ Incorreta
A alternativa propõe y = x², uma relação quadrática. Isso não faz sentido na semelhança de triângulos: a razão entre lados correspondentes é sempre uma constante linear (a razão de semelhança k), nunca uma potência. A relação quadrática aparece apenas entre áreas de figuras semelhantes (a razão entre as áreas é k²), não entre lados.
Alternativa B — ❌ Incorreta
A alternativa propõe y = x/2, ou seja, TR seria a metade de PR. Isso inverte a razão de semelhança. Como ST = 60 cm é o dobro de PQ = 30 cm, o triângulo STR é o dobro do PQR, então TR (y) deve ser o dobro de PR (x), não a metade. Este é o distrator mais perigoso, pois o candidato pode montar a proporção ao contrário.
Alternativa C — ❌ Incorreta
A alternativa propõe y = x + 30, uma relação de soma. A semelhança de triângulos estabelece uma relação de proporcionalidade (multiplicação por uma constante), não de adição. O número 30 (medida de PQ) não pode ser somado a x para obter y, pois a relação entre lados correspondentes é sempre multiplicativa.
Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO
A alternativa propõe y = 2x, que é exatamente a relação correta. Como os triângulos PQR e STR são semelhantes com razão de semelhança k = 2 (pois ST = 2 × PQ), todos os lados do triângulo STR são o dobro dos lados correspondentes do PQR. Portanto, TR (y) = 2 × PR (x), ou seja, y = 2x.
Alternativa E — ❌ Incorreta
A alternativa propõe y = 30x, uma relação multiplicativa com o número 30 (medida de PQ). Isso não corresponde à razão de semelhança, que é 2 (ST/PQ = 60/30). O número 30 é apenas a medida de um lado, não a razão entre os triângulos. A razão de semelhança é a divisão entre os lados correspondentes, não a medida de um deles.
