Questão de Matemática — Função Exponencial e Inequações Exponenciais — VUNESP 2025

Função exponencial aplicada ao crescimento de bactérias

Gabarito: letra D — a lei da função é $P(t) = 100 \cdot (1,25)^t$. A população inicial (em $t=0$) é 100 bactérias, e o gráfico mostra que, a cada unidade de tempo, a população é multiplicada por 1,25 (crescimento de 25% por período).

A função exponencial é o modelo matemático natural para fenômenos em que uma grandeza varia a uma taxa percentual constante por unidade de tempo — exatamente o caso do crescimento de uma população de bactérias em condições ideais. A forma geral é $P(t) = P_0 \cdot (1 + i)^t$, onde $P_0$ é o valor inicial (população no instante $t=0$) e $i$ é a taxa de crescimento por período. O fator $(1+i)$ é chamado de base da exponencial: se a base é maior que 1, a função é crescente; se está entre 0 e 1, é decrescente. No gráfico, a curva sobe, então a base é necessariamente maior que 1.

Para identificar a lei, precisamos de dois dados do gráfico: o valor inicial (onde a curva corta o eixo vertical, em $t=0$) e o valor em algum outro instante de tempo. Com esses dois pontos, montamos um sistema e encontramos $P_0$ e a base. Por exemplo, se em $t=0$ a população é 100 e em $t=1$ é 125, temos $125 = 100 \cdot b$, logo $b = 1,25$. Isso significa que a população cresce 25% a cada unidade de tempo — o que corresponde à alternativa D.

A pegadinha clássica da banca é trocar o valor inicial (100 por 200) ou a taxa de crescimento (1,25 por 1,20, 1,15, 1,50 ou 1,05), fazendo o candidato que leu o gráfico com pressa marcar uma alternativa com a população inicial ou a taxa errada. A leitura correta do gráfico é o que separa a alternativa certa das demais.

Guarde o método: população inicial = valor em $t=0$; base = fator pelo qual a população é multiplicada a cada unidade de tempo. É exatamente nesses dois elementos que as alternativas se dividem.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Apresenta população inicial de 200 bactérias, mas o gráfico mostra que em $t=0$ a população é 100. Além disso, a base 1,05 indicaria um crescimento de apenas 5% por período, bem menor do que o observado na curva.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Acerta a população inicial (100), mas usa a base 1,50, que representaria um crescimento de 50% por período — taxa muito maior do que a indicada pelo gráfico. A curva cresce de forma mais suave.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Erra tanto a população inicial (200 em vez de 100) quanto a taxa de crescimento (15% em vez de 25%). É um distrator que combina dois erros, induzindo quem não leu o gráfico com atenção.

Alternativa D — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A população inicial é 100 (ponto em $t=0$) e a base é 1,25, pois a cada unidade de tempo a população é multiplicada por 1,25 — ou seja, cresce 25% por período. A lei $P(t) = 100 \cdot (1,25)^t$ descreve exatamente a evolução mostrada no gráfico.

Alternativa E — ❌ Incorreta

Acerta a população inicial (100), mas usa a base 1,20, que representaria um crescimento de 20% por período — taxa inferior à observada. A diferença entre 1,20 e 1,25 é sutil, mas o gráfico permite distinguir qual é a correta.

Gabarito: letra D