Questão de Matemática — Lei dos Senos e Lei dos Cossenos — VUNESP 2025

Lei dos Cossenos em Triângulo Isósceles

Gabarito: letra B — o valor de $\cos(\alpha)$ é $\frac{4}{5}$. Aplicando a Lei dos Cossenos ao triângulo isósceles com lados $AB = BC = 5\sqrt{10}$ e base $AC = 10$, obtemos $\cos(\alpha) = \frac{4}{5}$.

A Lei dos Cossenos é uma ferramenta fundamental da trigonometria que relaciona os lados de um triângulo qualquer com o cosseno de um de seus ângulos. Ela generaliza o Teorema de Pitágoras, que só se aplica a triângulos retângulos. A fórmula é:

onde $a$ é o lado oposto ao ângulo $\hat{A}$, e $b$ e $c$ são os outros dois lados. Essa relação permite calcular um lado desconhecido quando conhecemos dois lados e o ângulo entre eles, ou, como neste caso, encontrar o cosseno de um ângulo quando conhecemos os três lados.

No triângulo isósceles $ABC$, temos $AB = BC = 5\sqrt{10}$ e $AC = 10$. O ângulo $\alpha$ é o ângulo do vértice $B$, ou seja, o ângulo formado pelos lados $AB$ e $BC$. O lado oposto a esse ângulo é $AC$. Aplicando a Lei dos Cossenos com $a = AC = 10$, $b = AB = 5\sqrt{10}$ e $c = BC = 5\sqrt{10}$, temos:

Portanto, o cosseno do ângulo $\alpha$ é $\frac{4}{5}$, o que corresponde à alternativa B.

Uma forma alternativa de resolver, que também é muito útil, é traçar a altura do triângulo isósceles a partir do vértice $B$ até o ponto médio $M$ da base $AC$. Isso divide o triângulo em dois triângulos retângulos congruentes, com hipotenusa $5\sqrt{10}$ e cateto adjacente ao ângulo $\alpha/2$ igual a $5$. Usando a relação do cosseno no triângulo retângulo, encontramos $\cos(\alpha/2) = \frac{5}{5\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$. Depois, com a identidade $\cos(\alpha) = 2\cos^2(\alpha/2) - 1$, chegamos ao mesmo resultado. Essa abordagem mostra a conexão entre a Lei dos Cossenos e as relações métricas no triângulo retângulo.

A pegadinha desta questão está em não identificar corretamente qual lado é oposto ao ângulo $\alpha$. O ângulo $\alpha$ é o ângulo do vértice $B$, portanto o lado oposto é $AC$, que mede 10. Se o aluno usar o lado errado na fórmula, o resultado será diferente. Além disso, é preciso cuidado com a álgebra envolvendo a raiz quadrada: $(5\sqrt{10})^2 = 25 \cdot 10 = 250$.

Alternativa A — ❌ Incorreta

O valor $\frac{3}{5}$ não corresponde ao cosseno de $\alpha$. Esse valor poderia ser obtido se o aluno cometesse um erro de cálculo, como, por exemplo, simplificar incorretamente a fração $\frac{300}{500}$ ou usar um lado errado na fórmula. O cálculo correto resulta em $\frac{4}{5}$.

Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Aplicando a Lei dos Cossenos com os valores corretos, obtemos $\cos(\alpha) = \frac{4}{5}$. A alternativa está correta e é o gabarito da questão.

Alternativa C — ❌ Incorreta

O valor $\frac{2}{5}$ não é o resultado correto. Esse valor poderia surgir de um erro na manipulação algébrica, como, por exemplo, subtrair 100 de 500 e obter 400, mas depois dividir por 1000 em vez de 500. O cálculo correto é $\frac{400}{500} = \frac{4}{5}$.

Alternativa D — ❌ Incorreta

O valor $\frac{2}{3}$ não corresponde ao cosseno de $\alpha$. Esse valor poderia ser obtido se o aluno confundisse a fórmula da Lei dos Cossenos ou errasse a simplificação da fração. O resultado correto é $\frac{4}{5}$.

Alternativa E — ❌ Incorreta

O valor $\frac{3}{4}$ não é o resultado correto. Esse valor poderia surgir de um erro de cálculo, como, por exemplo, inverter a fração ou usar um lado errado na fórmula. O cálculo correto resulta em $\frac{4}{5}$.

Gabarito: letra B