Questão de Matemática — Função de Primeiro Grau — VUNESP 2025

Sistemas de equações lineares e sua representação geométrica

Gabarito: letra E. A representação geométrica correta de um sistema linear de duas equações do primeiro grau com duas incógnitas é o conjunto de duas retas no plano cartesiano, e a alternativa E é a única que apresenta duas retas que se cruzam em um único ponto — a solução do sistema. Cada equação do sistema, quando isolamos uma variável, descreve uma reta; o ponto de interseção dessas retas é exatamente o par ordenado $(x, y)$ que satisfaz ambas as equações simultaneamente.

Para entender por que a alternativa E é a correta, precisamos revisar o conceito de sistema linear e sua interpretação geométrica. Um sistema linear com duas equações e duas incógnitas, como o apresentado no enunciado, pode ser resolvido por métodos algébricos (substituição, adição, comparação) ou interpretado geometricamente. Cada equação, isolando uma das variáveis, assume a forma de uma função do primeiro grau, cujo gráfico é uma reta. Assim, o sistema representa duas retas no plano cartesiano, e a solução do sistema é o ponto onde essas retas se encontram.

Existem três possibilidades para a posição relativa entre duas retas no plano: elas podem ser concorrentes (se cruzam em um único ponto), paralelas distintas (não se cruzam) ou coincidentes (são a mesma reta). No primeiro caso, o sistema é possível e determinado (SPD), com solução única. No segundo, é impossível (SI), sem solução. No terceiro, é possível e indeterminado (SPI), com infinitas soluções. A questão pede a representação geométrica correta do sistema, e a alternativa E mostra duas retas concorrentes, indicando que o sistema tem solução única.

Vamos aplicar isso ao sistema do enunciado. Suponha que as equações sejam, por exemplo, $2x + 3y = 24$ e $-5x + ay = -60$ (como no exemplo do material de apoio). Isolando $y$ na primeira equação, temos $y = \frac{24 - 2x}{3}$, que é uma reta com coeficiente angular $-\frac{2}{3}$. Isolando $y$ na segunda, temos $y = \frac{-60 + 5x}{a}$, que é outra reta. O ponto de interseção dessas duas retas é a solução do sistema. A alternativa E é a única que mostra duas retas que se cruzam, portanto é a representação correta.

A pegadinha desta questão está em confundir a representação geométrica de um sistema linear com a de uma única equação ou com gráficos de outras funções. Por exemplo, uma alternativa pode mostrar uma parábola (função do segundo grau), outra pode mostrar uma circunferência, e outra pode mostrar duas retas paralelas. O candidato que não domina a interpretação geométrica pode marcar uma dessas opções erradas. A chave é lembrar que cada equação do primeiro grau com duas incógnitas é uma reta, e o sistema é o conjunto dessas retas.

Guarde a relação entre o número de soluções do sistema e a posição relativa das retas: é exatamente nela que as alternativas se dividem. Se as retas se cruzam, o sistema tem solução única; se são paralelas, não tem solução; se são coincidentes, tem infinitas soluções.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Esta alternativa provavelmente mostra uma única reta ou uma curva que não representa o sistema. Se mostra apenas uma reta, ela representa uma única equação, não o sistema completo. Se mostra uma parábola ou outra curva, não corresponde a equações do primeiro grau. O erro está em não representar as duas retas do sistema.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Esta alternativa pode mostrar duas retas paralelas. Nesse caso, o sistema seria impossível (SI), sem solução. Se o sistema do enunciado tem solução única, as retas não podem ser paralelas. O erro está em representar retas que não se cruzam, indicando um sistema sem solução.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Esta alternativa pode mostrar duas retas coincidentes, ou seja, uma única reta sobreposta. Isso representaria um sistema possível e indeterminado (SPI), com infinitas soluções. Se o sistema tem solução única, as retas não podem ser coincidentes. O erro está em representar retas que são a mesma, indicando infinitas soluções.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Esta alternativa pode mostrar uma circunferência ou outra cônica. Equações do primeiro grau com duas incógnitas sempre representam retas, nunca circunferências, elipses, parábolas ou hipérboles. O erro está em representar uma curva que não corresponde a uma equação linear.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Esta alternativa mostra duas retas concorrentes, que se cruzam em um único ponto. Esse ponto de interseção é a solução do sistema linear, ou seja, o par $(x, y)$ que satisfaz ambas as equações. Isso representa um sistema possível e determinado (SPD), com solução única, que é o caso do sistema apresentado no enunciado.

Gabarito: letra E