Questão de Matemática — Geometria Espacial — VUNESP 2025
Matemática›Geometria Espacial
Código
vu219492
Banca
VUNESP
Órgão
PPS
Ano
2025
Cargo
3º AEM ( )
Uma sorveteria vende potes de sorvete em 3 formatos diferentes, com as seguintes medidas internas:
I. pote em formato de cubo, com arestas medindo 8 cm;
II. pote em formato de prisma triangular reto, com altura 15 cm e base na forma de um triângulo equilátero de lado 8 cm; e
III. pote em formato de paralelepípedo, com dimensões 8 cm x 5 cm x 12 cm.
Todos os potes têm o mesmo preço, independentemente do formato. Além disso, todos são servidos completamente cheios de sorvete.
Júnior quer comprar três potes de sorvete, com pelo menos dois formatos, e quer obter a maior quantidade de sorvete.
Nessas condições, e considerando 3=1,7, quais devem ser os potes escolhidos?
ADois potes em formato de cubo e um pote em formato de paralelepípedo.
BDois potes em formato de prisma e um pote em formato de paralelepípedo.
CDois potes em formato de paralelepípedo e um pote em formato de cubo.
DDois potes em formato de prisma e um pote em formato de cubo.
EUm pote de cada tipo.
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GabaritoA — Dois potes em formato de cubo e um pote em formato de paralelepípedo.
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Geometria Espacial: volumes e escolha ótima
Gabarito: letra A — dois potes cúbicos e um paralelepípedo. O cubo tem o maior volume individual (512 cm³), então a combinação que maximiza o total é aquela que repete o cubo duas vezes e soma o paralelepípedo (480 cm³), totalizando 1504 cm³ — mais do que qualquer outra combinação com pelo menos dois formatos.
O problema pede para comparar volumes de sólidos geométricos e escolher a combinação de três potes (com pelo menos dois formatos diferentes) que maximize a quantidade total de sorvete. Como todos os potes têm o mesmo preço, a estratégia é clara: escolher os potes de maior capacidade individual, repetindo-os o máximo possível, desde que a condição de "pelo menos dois formatos" seja respeitada.
Prisma triangular reto (altura 15 cm, base triângulo equilátero de lado 8 cm): o volume de um prisma é área da base × altura. A área de um triângulo equilátero de lado L é (L²√3)/4. Com L = 8, temos (64 × 1,7)/4 = 108,8/4 = 27,2 cm². Multiplicando pela altura 15, obtemos 27,2 × 15 = 408 cm³.
Agora, precisamos escolher 3 potes, com pelo menos dois formatos diferentes, para maximizar o volume total. Como o cubo é o maior (512 cm³), a melhor estratégia é usar o máximo de cubos possível. Mas não podemos usar 3 cubos, pois isso violaria a condição de "pelo menos dois formatos". Então, usamos 2 cubos e 1 pote do segundo maior volume, que é o paralelepípedo (480 cm³).
Total: 2 × 512 + 480 = 1024 + 480 = 1504 cm³.
Vamos verificar as outras combinações para confirmar que nenhuma supera esse valor:
A combinação com 2 cubos e 1 paralelepípedo é a maior. A pegadinha aqui é que muitos candidatos podem pensar que, por terem o mesmo preço, deveriam escolher "um de cada" para variar, mas a condição é apenas "pelo menos dois formatos", e a maximização do volume exige repetir o maior formato.
1Calcular volume de cada formato
2Cubo: 512 cm³ (maior)
3Paralelepípedo: 480 cm³
4Prisma: 408 cm³ (menor)
5Repetir o maior (cubo) 2×
6Somar 2º maior (paralelepípedo)
7Total: 1504 cm³ — gabarito A
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Formato
Volume (cm³)
Individual
Melhor uso na combinação
Cubo (aresta 8 cm)
512
Maior
Repetir 2× (máximo permitido)
Paralelepípedo (8×5×12 cm)
480
2º maior
1× (complemento)
Prisma triangular (base 8 cm, h 15 cm)
408
Menor
Evitar repetição
Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Esta é a combinação que maximiza o volume total. O cubo tem o maior volume individual (512 cm³), e o paralelepípedo é o segundo maior (480 cm³). Usar dois cubos e um paralelepípedo dá 2 × 512 + 480 = 1504 cm³, que é o maior total possível respeitando a condição de pelo menos dois formatos.
Alternativa B — ❌ Incorreta
Dois prismas e um paralelepípedo somam 2 × 408 + 480 = 1296 cm³. O prisma tem o menor volume individual (408 cm³), então repeti-lo não é a melhor estratégia. A combinação com dois cubos é superior.
Alternativa C — ❌ Incorreta
Dois paralelepípedos e um cubo somam 2 × 480 + 512 = 1472 cm³. Embora seja uma boa combinação, é inferior à alternativa A (1504 cm³), pois repete o paralelepípedo (480 cm³) em vez do cubo (512 cm³).
Alternativa D — ❌ Incorreta
Dois prismas e um cubo somam 2 × 408 + 512 = 1328 cm³. O prisma tem o menor volume, então repeti-lo duas vezes reduz o total. A alternativa A é melhor.
Alternativa E — ❌ Incorreta
Um de cada tipo soma 512 + 408 + 480 = 1400 cm³. Embora respeite a condição de formatos diferentes, não maximiza o volume, pois não repete o cubo, que é o maior.
PEGA ESSA DICA!
Em problemas de maximização com preço fixo, calcule o volume de cada opção e priorize repetir o maior volume, desde que as condições do enunciado sejam respeitadas. Aqui, a condição é "pelo menos dois formatos", então não se pode escolher três cubos.