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Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — VUNESP 2025

MatemáticaAnálise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
vu219497
Banca
VUNESP
Órgão
PPS
Ano
2025
Cargo
3º AEM ( )
Três amigos irão a uma festa temática em que cada convidado deve se vestir inteiramente de uma única cor: vermelho, verde ou azul. De quantas maneiras distintas eles podem escolher suas cores de forma que não haja cor repetida entre eles?
  1. A4
  2. B6
  3. C1
  4. D9
  5. E3
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GabaritoB — 6

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 6 maneiras — alternativa B.

A ideia por trás

A análise combinatória é a parte da matemática que conta possibilidades sem precisar listar todas. O princípio fundamental da contagem (PFC) diz que, se uma escolha tem m opções e, depois dela, outra tem n opções, o total de combinações é m × n. Aqui, cada amigo escolhe uma cor, e a ordem das escolhas importa porque são pessoas diferentes.

Quando a ordem importa e não há repetição, usamos o arranjo simples: A(n,p) = n! / (n-p)!. No caso em que p = n, isso vira uma permutação: P(n) = n!. O número de maneiras de ordenar n elementos distintos é n! (fatorial), que é o produto de todos os inteiros de 1 até n. Por exemplo, 3! = 3 × 2 × 1 = 6.

Esta questão pede exatamente o número de permutações de 3 cores entre 3 amigos, pois cada amigo é distinto e as cores não podem se repetir. Vamos aplicar o PFC passo a passo.

O que a questão dá

  • 3 amigos

  • 3 cores disponíveis: vermelho, verde e azul

  • restrição: nenhuma cor pode se repetir entre os amigos

O que queremos: o número de maneiras distintas de atribuir as 3 cores aos 3 amigos, sem repetição

Passo 1 — Escolher a cor do primeiro amigo

Começamos pelo primeiro amigo porque ele tem todas as 3 cores disponíveis. A ordem das escolhas importa, então fixamos uma sequência: primeiro, segundo e terceiro amigo.

Por que esta fórmula: Pelo princípio fundamental da contagem, o número de opções para a primeira escolha é simplesmente o total de cores disponíveis.

opc\co~es1=3opções_1 = 3

De onde vem cada valor: 33 = enunciado: três cores (vermelho, verde, azul)

opc\co~es1=3=3 opc\co~esopções_1 = 3 = \boxed{3\ \text{op}çõ\text{es}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que o primeiro amigo tem todas as cores disponíveis e já subtrair uma, pensando que a restrição já vale desde o início.

Passo 2 — Escolher a cor do segundo amigo

Depois que o primeiro amigo escolheu, uma cor já foi usada. Como não pode haver repetição, o segundo amigo só pode escolher entre as 2 cores restantes.

Por que esta fórmula: A cada escolha, o número de opções diminui em 1, porque uma cor é eliminada. Isso é a essência do PFC aplicado a restrições de não repetição.

opc\co~es2=3−1opções_2 = 3 - 1

De onde vem cada valor: 33 = passo 1: total de cores · 11 = constante: 1 (a cor já escolhida pelo primeiro amigo)

opc\co~es2=3−1=2 opc\co~esopções_2 = 3 - 1 = \boxed{2\ \text{op}çõ\text{es}}
NÃO CAIA NESSA!

Contar 3 opções novamente, ignorando a restrição de não repetição.

Passo 3 — Escolher a cor do terceiro amigo

Com duas cores já usadas, resta apenas uma cor para o terceiro amigo. Essa é a última escolha, e ela é forçada.

Por que esta fórmula: Novamente, subtraímos as cores já usadas do total: 3 - 2 = 1.

opc\co~es3=3−2opções_3 = 3 - 2

De onde vem cada valor: 33 = passo 1: total de cores · 22 = constante: 2 (cores já escolhidas pelos dois primeiros amigos)

opc\co~es3=3−2=1 opc\ca~oopções_3 = 3 - 2 = \boxed{1\ \text{op}çã\text{o}}
NÃO CAIA NESSA!

Pensar que o terceiro amigo também tem 2 opções, esquecendo que duas cores já foram usadas.

Passo 4 — Multiplicar as opções de cada amigo

O princípio fundamental da contagem diz que, para decisões sucessivas, multiplicamos o número de opções de cada etapa. Isso porque cada combinação de escolhas forma uma configuração distinta.

Por que esta fórmula: A multiplicação 3 × 2 × 1 é exatamente o fatorial de 3, que conta todas as permutações de 3 elementos distintos.

total=3×2×1total = 3 \times 2 \times 1

De onde vem cada valor: 33 = passo 1: opções do primeiro amigo · 22 = passo 2: opções do segundo amigo · 11 = passo 3: opções do terceiro amigo

total=3×2×1=6 maneirastotal = 3 \times 2 \times 1 = \boxed{6\ \text{maneiras}}
NÃO CAIA NESSA!

Usar combinação C(3,3) = 1, porque a ordem importa aqui — cada amigo é distinto, então (Vermelho, Verde, Azul) é diferente de (Vermelho, Azul, Verde).

Resposta: 6 maneiras — alternativa B

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