Questão de Matemática — Lei dos Senos e Lei dos Cossenos — VUNESP 2025

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 8 cm — alternativa B.

A ideia por trás

A Lei dos Cossenos é a ferramenta que relaciona os três lados de um triângulo qualquer com um de seus ângulos. Ela generaliza o Teorema de Pitágoras: enquanto Pitágoras só vale para triângulos retângulos, a Lei dos Cossenos vale para qualquer triângulo, e o termo extra com o cosseno corrige exatamente a diferença quando o ângulo não é reto.

Em um triângulo com lados a, b e c, onde o ângulo γ é oposto ao lado c, vale c² = a² + b² − 2ab·cos(γ). Se o ângulo for reto, cos(γ) = 0 e a fórmula vira Pitágoras. Quando o ângulo é agudo, o cosseno é positivo e o lado oposto fica menor que a soma dos quadrados; quando é obtuso, o cosseno é negativo e o lado oposto fica maior.

Esta questão pede para enxergar o compasso como um triângulo isósceles: as duas hastes são os lados iguais e o raio da circunferência é o lado oposto ao ângulo de abertura. Aplicar a Lei dos Cossenos com os dados fornecidos resolve diretamente.

O que a questão dá

• comprimento de cada haste = 12 cm

• cosseno do ângulo de abertura = 7/9

O que queremos: o raio da circunferência traçada pelo compasso

Passo 1 — Montar o triângulo do compasso

O compasso aberto forma um triângulo: cada haste é um lado, e a distância entre as pontas é o terceiro lado. Esse terceiro lado é exatamente o raio da circunferência, porque ao girar o compasso com a ponta seca fixa, a ponta com grafite percorre um círculo cujo raio é a distância entre as duas pontas.

Por que esta fórmula: Não há fórmula aqui; é uma interpretação geométrica. As duas hastes têm o mesmo comprimento, então o triângulo é isósceles, com dois lados de 12 cm e o ângulo α entre eles.

Passo 2 — Aplicar a Lei dos Cossenos

Temos dois lados e o ângulo entre eles, e queremos o terceiro lado. Essa é exatamente a situação que a Lei dos Cossenos resolve: ela relaciona os três lados com um ângulo, sem precisar de mais nada.

Por que esta fórmula: A Lei dos Cossenos é a única que liga dois lados conhecidos e o ângulo entre eles ao lado oposto. A Lei dos Senos não serve aqui porque precisaríamos de um par lado-ângulo oposto completo, que não temos.

De onde vem cada valor: $12$ = enunciado: comprimento de cada haste · $\cos(\alpha)$ = enunciado: 7/9

Passo 3 — Calcular o quadrado do raio

Agora é só aritmética: somar os quadrados e subtrair o produto com o cosseno. Cada operação reduz a expressão até sobrar o valor de R².

Por que esta fórmula: É a continuação da conta iniciada no passo anterior; não há nova fórmula, apenas simplificação.

De onde vem cada valor: $288$ = passo 2: 144 + 144 · $\frac{7}{9}$ = enunciado: cosseno do ângulo

Passo 4 — Extrair a raiz quadrada

O passo anterior deu o quadrado do raio; o raio em si é a raiz quadrada desse valor. Como se trata de um comprimento, usamos a raiz positiva.

Por que esta fórmula: R = √(R²) é a definição de raiz quadrada; não há outra relação envolvida.

De onde vem cada valor: $R^{2}$ = passo 3: 64 cm²

Resposta: 8 cm — alternativa B