Questão de Matemática — Cálculo de Seno e Cosseno no Triângulo Retângulo — VUNESP 2025
Matemática›Cálculo de Seno e Cosseno no Triângulo Retângulo
Código
vu219502
Banca
VUNESP
Órgão
PPS
Ano
2025
Cargo
3º AEM ( )
A figura mostra o triângulo retângulo ABC e um ponto D pertencente ao lado AC. O comprimento dos segmentos AD, DC e BC são iguais a 7 cm, 5 cm e 5 cm, respectivamente. Os valores do ângulo β e de senα são:
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Trigonometria no triângulo retângulo: seno, cosseno e o triângulo 45º-45º-90º
Gabarito: letra E — β = 45º e sen(α) = 5/13. O triângulo BCD é isósceles com catetos DC e BC iguais a 5 cm, o que o torna um triângulo retângulo isósceles (45º-45º-90º), e o seno de α é a razão entre o cateto oposto (BC = 5) e a hipotenusa do triângulo maior (AB = 13), obtida pelo Teorema de Pitágoras.
A questão mistura dois conceitos fundamentais da geometria plana: as razões trigonométricas no triângulo retângulo e a identificação de triângulos especiais. Vamos por partes.
Primeiro, o que são seno e cosseno? Em um triângulo retângulo, para um ângulo agudo θ, o seno é a razão entre o cateto oposto a θ e a hipotenusa; o cosseno é a razão entre o cateto adjacente a θ e a hipotenusa. A tangente é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente. Essas definições são a base de tudo.
Segundo, os triângulos retângulos especiais. O triângulo 45º-45º-90º tem os dois catetos iguais e a hipotenusa igual ao cateto vezes √2. O triângulo 30º-60º-90º tem o cateto menor (oposto a 30º) igual à metade da hipotenusa, e o cateto maior (oposto a 60º) igual ao cateto menor vezes √3. Reconhecer esses padrões é essencial para resolver questões de geometria de forma rápida.
Agora, vamos aplicar ao problema. O triângulo ABC é retângulo em C (o ângulo reto está no vértice C, pois BC é perpendicular a AC). O ponto D está sobre AC, dividindo-o em AD = 7 cm e DC = 5 cm. Assim, AC = 12 cm. O segmento BC = 5 cm.
Observe o triângulo BCD: ele é retângulo em C (pois BC é perpendicular a AC, e D está sobre AC), e tem catetos DC = 5 e BC = 5. Como os dois catetos são iguais, o triângulo BCD é isósceles, e os ângulos agudos são iguais. Como a soma dos ângulos internos é 180º e o ângulo reto é 90º, cada ângulo agudo mede 45º. O ângulo β é o ângulo no vértice B do triângulo BCD, portanto β = 45º.
Para o seno de α, precisamos identificar onde está o ângulo α. Pela figura, α é o ângulo no vértice A do triângulo ABC. O cateto oposto a α é BC = 5 cm. A hipotenusa do triângulo ABC é AB, que ainda não conhecemos. Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC:
AB² = AC² + BC² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169
AB = √169 = 13 cm
Portanto, sen(α) = cateto oposto / hipotenusa = BC / AB = 5/13.
A pegadinha aqui é dupla: primeiro, o candidato pode não perceber que o triângulo BCD é isósceles e tentar calcular β por outro caminho, ou confundir β com o ângulo no vértice D. Segundo, pode errar o seno de α usando o triângulo errado (por exemplo, usando o triângulo BCD, onde o seno de β seria 5/(5√2) = √2/2, que não é 5/13). A chave é identificar corretamente qual triângulo usar para cada ângulo.
Distribuição de valores — só Grupo A: 7; só Grupo B: 5; Grupo A∩Grupo B: 5
Alternativa A — ❌ Incorreta
Afirma β = 45º (correto), mas sen(α) = 5/7. O erro está em usar AD = 7 como hipotenusa, mas AD não é a hipotenusa do triângulo ABC — é apenas um segmento do cateto AC. A hipotenusa é AB = 13. O valor 5/7 seria o seno de um ângulo em um triângulo com cateto oposto 5 e hipotenusa 7, o que não corresponde à figura.
Alternativa B — ❌ Incorreta
Afirma β = 60º e sen(α) = 5/13. O seno está correto, mas β = 60º está errado. O triângulo BCD tem catetos iguais (5 e 5), logo é isósceles retângulo, e β = 45º, não 60º. O ângulo de 60º apareceria em um triângulo 30º-60º-90º, que não é o caso aqui.
Alternativa C — ❌ Incorreta
Afirma β = 60º e sen(α) = 5/12. Ambos os valores estão errados. β = 45º, e o seno de α é 5/13, não 5/12. O valor 5/12 seria o seno de α se a hipotenusa fosse 12, mas a hipotenusa é 13. O candidato pode ter confundido a hipotenusa com o cateto AC = 12.
Alternativa D — ❌ Incorreta
Afirma β = 30º e sen(α) = 5/7. Ambos errados. β = 45º, e sen(α) = 5/13. O valor 5/7 repete o erro da alternativa A (usar AD = 7 como hipotenusa), e β = 30º não tem fundamento na figura, pois o triângulo BCD é isósceles, não um triângulo 30º-60º-90º.
Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO
β = 45º, pois o triângulo BCD é retângulo isósceles (catetos DC = BC = 5). sen(α) = 5/13, pois o cateto oposto a α é BC = 5 e a hipotenusa AB = 13 (calculada por Pitágoras: √(12² + 5²) = 13).
A regra de ouro para questões assim: identifique os triângulos retângulos formados, verifique se há lados iguais (isósceles) e use Pitágoras para achar o lado que falta. Com isso, as razões trigonométricas saem direto.
