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Questão de Matemática — Congruência e Semelhança de Triângulos. Razão de Semelhança. — VUNESP 2025

MatemáticaCongruência e Semelhança de Triângulos. Razão de Semelhança.
Código
vu219503
Banca
VUNESP
Órgão
PPS
Ano
2025
Cargo
3º AEM ( )
A figura mostra o triângulo ABC e um ponto D no lado BC. Os ângulos A \widehat{B} C e D \widehat{A} C são iguais a a. Os segmentos AC‾\overline {AC} e BD‾\overline {BD} têm comprimento iguais a 6 cm e 5 cm, respectivamente.   O comprimento do segmento BC‾\overline {BC} é deImagem associada para resolução da questão
  1. A8,5 cm.
  2. B8,0 cm.
  3. C9,0 cm.
  4. D7,5 cm.
  5. E7,0 cm.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoC — 9,0 cm.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra C — a conta chega a BC = 9,0 cm — alternativa C.

A ideia por trás

Dois triângulos são semelhantes quando têm os três ângulos internos iguais, um a um. Nesse caso, os lados que ficam entre ângulos iguais são proporcionais: se um triângulo é o dobro do outro, todos os lados correspondentes são o dobro. A semelhança é a ferramenta que permite descobrir medidas desconhecidas a partir de outras conhecidas, desde que os triângulos tenham a mesma 'forma'.

O caso AA (ângulo-ângulo) garante a semelhança: se dois triângulos têm dois ângulos iguais, o terceiro também é igual (pois a soma dos ângulos internos é sempre 180°), e então os lados correspondentes são proporcionais. A razão de semelhança k é a constante que multiplica cada lado de um triângulo para obter o lado correspondente do outro. Essa proporção vale para todos os pares de lados homólogos.

Esta questão esconde a semelhança: os triângulos ABC e DAC não estão desenhados um ao lado do outro, mas compartilham o ângulo em C e têm outro ângulo igual a α. Identificar esses dois triângulos e montar a proporção entre os lados corretos é o passo decisivo.

O que a questão dá

  • AC = 6 cm

  • BD = 5 cm

  • ângulo ABC = α

  • ângulo DAC = α

O que queremos: o comprimento do segmento BC

Passo 1 — Montar a proporção entre lados homólogos

Os triângulos ABC e DAC são semelhantes pelo caso AA: compartilham o ângulo em C e têm outro ângulo igual a α (ABC = DAC). Com a semelhança garantida, podemos relacionar os lados correspondentes. No triângulo ABC, o lado oposto ao ângulo α (em B) é AC; no triângulo DAC, o lado oposto ao ângulo α (em A) é DC. Portanto, AC e DC são homólogos. O lado BC (do triângulo ABC) é homólogo ao lado AC (do triângulo DAC), pois ambos estão entre o ângulo α e o ângulo comum C. Assim, a razão entre lados correspondentes é constante.

Por que esta fórmula: A semelhança diz que a razão entre dois lados correspondentes é a mesma para qualquer par. Então AC/DC = BC/AC.

ACDC=BCAC\frac{AC}{DC} = \frac{BC}{AC}

De onde vem cada valor: ACAC = enunciado: 6 cm · DCDC = definição: segmento DC, que será expresso em função de BC no passo 2 · BCBC = definição: incógnita a determinar

6DC=BC6\frac{6}{DC} = \frac{BC}{6}
NÃO CAIA NESSA!

Inverter a ordem dos lados na proporção, colocando AC/BC = DC/AC, o que leva a uma equação errada.

Passo 2 — Expressar DC em função de BC

A proporção tem duas incógnitas, DC e BC. Mas D está sobre BC, então BC = BD + DC. Como BD = 5 cm, temos DC = BC - 5. Isso reduz o problema a uma única incógnita.

Por que esta fórmula: A relação entre os segmentos na mesma reta: o todo é a soma das partes.

DC=BC−BDDC = BC - BD

De onde vem cada valor: BCBC = definição: incógnita a determinar · BDBD = enunciado: 5 cm

DC=BC−5DC = BC - 5
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer que D está entre B e C e escrever DC = BD + BC, o que daria um valor maior que o todo.

Passo 3 — Substituir e montar a equação

Agora temos a proporção com uma única incógnita. Substituímos DC por BC - 5 e resolvemos a equação resultante.

Por que esta fórmula: A proporção vira uma equação do segundo grau após a substituição.

6BC−5=BC6\frac{6}{BC - 5} = \frac{BC}{6}

De onde vem cada valor: 66 = passo 1: AC = 6 cm · BC−5BC - 5 = passo 2: DC = BC - 5 · BCBC = definição: incógnita a determinar

6BC−5=BC6\frac{6}{BC - 5} = \frac{BC}{6}
NÃO CAIA NESSA!

Não multiplicar em cruz corretamente, esquecendo de distribuir o BC.

Passo 4 — Resolver a equação do segundo grau

Multiplicando em cruz obtemos uma equação quadrática. Precisamos resolvê-la para achar BC.

Por que esta fórmula: A equação x² - 5x - 36 = 0 é resolvida pela fórmula de Bhaskara.

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}

De onde vem cada valor: aa = definição: coeficiente de x², igual a 1 · bb = definição: coeficiente de x, igual a -5 · cc = definição: termo constante, igual a -36

x=5±25+1442=5±132x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 144}}{2} = \frac{5 \pm 13}{2}

x = 9 ou x = -4

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de descartar a raiz negativa, que não faz sentido para um comprimento.

Passo 5 — Escolher a raiz positiva

Comprimento não pode ser negativo, então a única resposta válida é x = 9.

BC=9 cmBC = \boxed{9\ \text{cm}}
NÃO CAIA NESSA!

Considerar a raiz negativa como possível, o que daria um comprimento impossível.

Resposta: BC = 9,0 cm — alternativa C

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