Questão de Matemática — Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações) — VUNESP 2025
Matemática›Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)
Código
vu219512
Banca
VUNESP
Órgão
PPS
Ano
2025
Cargo
3º AEM ( )
Uma escola pretende lançar uma edição comemorativa de seu brasão em celebração ao seu aniversário. O brasão original tem uma única cor e nele é aplicado um único filtro. A nova versão manterá o mesmo desenho do brasão original, mas terá alterações na cor, no filtro e no tamanho. Após uma análise criteriosa, a equipe reduziu suas possibilidades a 5 opções de cores, 3 tipos de filtros e 4 tamanhos, todos diferentes do brasão original. Mantendo a ideia de que o brasão deverá ter cor única e a aplicação de um único filtro, mas terá tamanho diferente do brasão original, de quantas maneiras distintas o brasão comemorativo pode ser produzido a partir dessas combinações?
A48
B24
C12
D60
E120
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GabaritoD — 60
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Resolução
Gabarito: letra D — a conta chega a 60 maneiras distintas — alternativa D.
A ideia por trás
O princípio fundamental da contagem é a ferramenta mais básica da análise combinatória: quando uma escolha é feita em etapas independentes, o total de possibilidades é o produto das possibilidades de cada etapa. Cada etapa representa uma decisão que não interfere nas outras — escolher a cor não limita a escolha do filtro, e assim por diante.
Se temos n1 opções na primeira etapa, n2 na segunda, e assim por diante, o número total de combinações é n1 × n2 × n3 × … . Isso acontece porque para cada escolha da primeira etapa existem todas as opções da segunda, e para cada par dessas, todas as da terceira — o crescimento é multiplicativo, não aditivo. A ordem das escolhas não importa para o total, desde que todas as etapas sejam obrigatórias.
Esta questão aplica diretamente o princípio multiplicativo: são três etapas obrigatórias — cor, filtro e tamanho — e todas as opções listadas são válidas, pois o requisito de ser diferente do original já está garantido pelo enunciado. Basta multiplicar as quantidades.
O que a questão dá
5 opções de cores
3 tipos de filtros
4 tamanhos
O que queremos: o número de maneiras distintas de produzir o brasão comemorativo
Passo 1 — Listar as etapas da escolha
Antes de multiplicar, precisamos saber quantas decisões independentes existem. O brasão tem três características que mudam: cor, filtro e tamanho. Cada uma é uma etapa separada, e todas são obrigatórias — não há opção de 'não escolher' alguma delas.
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer uma das etapas, como ignorar o tamanho, achando que ele não conta porque é 'só um detalhe'.
Passo 2 — Multiplicar as possibilidades de cada etapa
Com as três etapas identificadas, aplicamos o princípio fundamental da contagem: como cada escolha é independente, o total é o produto das quantidades. Multiplicar é a operação que combina todas as possibilidades.
Por que esta fórmula: O princípio multiplicativo diz que o número total de combinações é o produto das opções de cada etapa. Não é arranjo nem combinação, porque aqui a ordem não importa e não há restrições — é só contar todas as triplas possíveis.
De onde vem cada valor: = enunciado: 5 opções de cores · = enunciado: 3 tipos de filtros · = enunciado: 4 tamanhos
NÃO CAIA NESSA!
Somar as opções (5 + 3 + 4 = 12) em vez de multiplicar — isso contaria apenas uma escolha por etapa, não todas as combinações.