Questão de Matemática — Geral — VUNESP 2025

Resolução

Gabarito: letra D. A equação que traduz o enunciado é $(24+x) + (x-24) + 24x + \frac{x}{24} = 1875$, que simplifica para $25x + \frac{x}{24} = 1875$. Multiplicando tudo por 24, obtemos $600x + x = 45000$, logo $601x = 45000$ e $x = \frac{45000}{601} = 74,875...$, o que não é inteiro. Há um erro no enunciado ou no gabarito, pois com os dados fornecidos não existe inteiro positivo $x > 24$ que satisfaça a condição. A resolução correta, assumindo que a divisão é $\frac{x}{24}$ (maior pelo menor), leva a $x = \frac{45000}{601}$, que não é inteiro. Portanto, a questão, como apresentada, não tem solução nos inteiros positivos.

A ideia por trás

O problema pede para montar uma equação a partir das quatro operações descritas. Vamos chamar os números de 24 e $x$, com $x > 24$. As operações são:

1. Soma: $24 + x$

2. Diferença (maior - menor): $x - 24$

3. Produto: $24 \cdot x$

4. Divisão (maior pelo menor): $\frac{x}{24}$

A soma desses quatro resultados é 1875. Montando a equação:

Simplificando os termos sem $x$: $24 - 24 = 0$, então:

Para eliminar a fração, multiplicamos toda a equação por 24:

Agora, com $x = 72$, vamos calcular a expressão pedida: $\frac{24^x}{x} = \frac{24^{72}}{72}$. Isso não parece se encaixar nas alternativas, que envolvem números como 2448, 2471 e 2472. Vamos verificar se há algum erro na interpretação.

Reavaliando a equação

Talvez a divisão não seja $\frac{x}{24}$, mas sim $\frac{24}{x}$? Mas o enunciado diz "o maior deles foi dividido pelo menor", e como $x > 24$, o maior é $x$, então a divisão é $\frac{x}{24}$. Vamos refazer os cálculos com cuidado.

A equação correta é:

Multiplicando por 24:

Então $x = 72$. Agora, a expressão pedida é $\frac{24^x}{x} = \frac{24^{72}}{72}$. Isso é um número gigantesco, e as alternativas são números pequenos como 2448, 2471, 2472. Claramente há algo errado.

A pegadinha

A banca pode ter trocado a operação de divisão. Se em vez de dividir o maior pelo menor, tivéssemos dividido o menor pelo maior, a equação seria:

Mas isso complicaria ainda mais. Outra possibilidade é que a expressão pedida não seja $\frac{24^x}{x}$, mas sim $\frac{24 \cdot x}{x} = 24$? Não, o enunciado é claro: $\frac{24^x}{x}$.

Vamos testar as alternativas. Se $\frac{24^x}{x}$ for igual a, por exemplo, a terça parte de 2471, então $\frac{24^x}{x} = \frac{2471}{3} = 823,666...$, o que não é inteiro. Se for a terça parte de 2472, $\frac{2472}{3} = 824$. Então $\frac{24^x}{x} = 824$. Isso significaria $24^x = 824x$. Para $x = 72$, $24^{72}$ é absurdo.

Talvez a expressão seja $\frac{24 \cdot x}{x} = 24$? Não.

Vamos considerar que a equação foi montada de forma diferente. Talvez a soma dos resultados seja:

• Soma: $24 + x$

• Diferença: $x - 24$

• Produto: $24x$

• Divisão: $\frac{x}{24}$

Soma total: $24 + x + x - 24 + 24x + \frac{x}{24} = 26x + \frac{x}{24} = 1875$

Isso dá $x = 72$. Agora, $\frac{24^x}{x} = \frac{24^{72}}{72}$. Isso não bate com as alternativas.

Outra interpretação

Talvez a divisão seja $\frac{24}{x}$? Mas o enunciado diz "o maior deles foi dividido pelo menor", e como $x > 24$, o maior é $x$, então é $\frac{x}{24}$.

Vamos verificar se há algum erro de digitação no enunciado. Se a soma fosse 1875, e a equação fosse $26x + \frac{x}{24} = 1875$, então $x = 72$. Mas $\frac{24^{72}}{72}$ não é uma das alternativas.

Talvez a expressão pedida seja $\frac{24 \cdot x}{x} = 24$? Não.

Vamos analisar as alternativas:

• A) quinta parte de 2448 = $2448/5 = 489,6$

• B) quarta parte de 2471 = $2471/4 = 617,75$

• C) quarta parte de 2472 = $2472/4 = 618$

• D) terça parte de 2471 = $2471/3 = 823,666...$

• E) terça parte de 2472 = $2472/3 = 824$

Se $\frac{24^x}{x} = 824$, então $24^x = 824x$. Para $x = 72$, isso é impossível.

Talvez a equação seja diferente. Vamos supor que a divisão seja $\frac{24}{x}$ (menor pelo maior), o que contraria o enunciado, mas vamos testar:

Multiplicando por $x$:

Resolvendo a equação do segundo grau, o discriminante é $1875^2 - 4 \cdot 26 \cdot 24 = 3515625 - 2496 = 3513129$, que não é um quadrado perfeito, então $x$ não é inteiro.

Conclusão

Com os dados fornecidos, não há solução inteira para $x$. Portanto, a questão, como apresentada, está mal formulada ou há um erro no gabarito. O gabarito oficial é a letra D, mas não conseguimos chegar a ela com os dados do enunciado.

Gabarito: letra D (conforme oficial, mas a resolução não fecha com os dados fornecidos).