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Questão de Matemática — Geral — VUNESP 2025

MatemáticaGeral
Código
vu219519
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Sorocaba
Ano
2025
Cargo
DEsc ( )
A marcenaria de uma escola deseja dividir três ripas lineares de madeira, de 12 m, 15 m e 18 m, em pedaços lineares de igual comprimento, sendo esse comprimento o maior possível. O número de pedaços lineares de madeira que será obtido após a realização desse serviço será igual a
  1. A18.
  2. B15.
  3. C12.
  4. D8.
  5. E6.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoB — 15.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra B — a conta chega a 15 pedaços — alternativa B.

A ideia por trás

O máximo divisor comum (MDC) entre dois ou mais números é o maior número que divide todos eles exatamente, sem deixar resto. Quando precisamos dividir comprimentos em partes iguais do maior tamanho possível, o MDC é exatamente o tamanho de cada parte: ele garante que cada ripa seja cortada em um número inteiro de pedaços, sem sobra.

Para calcular o MDC, fatoramos cada número em primos e multiplicamos os fatores comuns com o menor expoente. Por exemplo, se os números são 12, 15 e 18, o único fator comum é o 3, então o MDC é 3. Depois, o número de pedaços de cada ripa é o comprimento dividido pelo MDC, e o total é a soma desses quocientes.

Esta questão pede exatamente isso: dividir três ripas em pedaços iguais do maior tamanho possível. O caminho é calcular o MDC dos três comprimentos e depois somar quantos pedaços saem de cada um.

O que a questão dá

  • ripa 1 = 12 m

  • ripa 2 = 15 m

  • ripa 3 = 18 m

O que queremos: o número total de pedaços de igual comprimento, sendo o comprimento o maior possível

Passo 1 — Fatorar cada comprimento em primos

Para achar o maior tamanho de pedaço que divide todas as ripas, precisamos ver quais fatores primos elas têm em comum. Fatorar é o primeiro passo para enxergar isso.

Por que esta fórmula: A fatoração em primos é a decomposição de um número em uma multiplicação de números primos. Ela é a base para calcular o MDC.

12=22×3,15=3×5,18=2×3212 = 2^{2} \times 3, \quad 15 = 3 \times 5, \quad 18 = 2 \times 3^{2}

De onde vem cada valor: 1212 = enunciado: 12 m · 1515 = enunciado: 15 m · 1818 = enunciado: 18 m

12=22×3,15=3×5,18=2×3212 = 2^{2} \times 3, \quad 15 = 3 \times 5, \quad 18 = 2 \times 3^{2}

12 = 2² × 3, 15 = 3 × 5, 18 = 2 × 3²

NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de fatorar um dos números ou errar a decomposição, como escrever 15 = 3 × 5 em vez de 15 = 3 × 5 (correto).

Passo 2 — Identificar os fatores comuns com menor expoente

O MDC é formado apenas pelos fatores que aparecem em todos os números, com o menor expoente. Aqui, o único fator que aparece nos três é o 3, com expoente 1.

Por que esta fórmula: O MDC é o produto dos fatores comuns com o menor expoente. Como o 3 aparece em todos, e o expoente mínimo é 1, o MDC é 3.

MDC(12,15,18)=3MDC(12, 15, 18) = 3

De onde vem cada valor: 33 = passo 1: fator comum a 12, 15 e 18

MDC(12,15,18)=3=3 mMDC(12, 15, 18) = 3 = \boxed{3\ \text{m}}
NÃO CAIA NESSA!

Incluir fatores que não são comuns a todos, como o 2 (que não divide 15) ou o 5 (que não divide 12 nem 18).

Passo 3 — Calcular quantos pedaços saem de cada ripa

Com o tamanho de cada pedaço definido (3 m), dividimos cada comprimento por ele para saber quantos pedaços cada ripa fornece.

Por que esta fórmula: O número de pedaços de uma ripa é o comprimento total dividido pelo comprimento de cada pedaço, pois cada pedaço tem o mesmo tamanho.

ni=LiMDCn_i = \frac{L_i}{MDC}

De onde vem cada valor: LiL_i = enunciado: 12 m, 15 m, 18 m · MDCMDC = passo 2: 3 m

n1=123=4,n2=153=5,n3=183=6=4 ,5e6pedac\cosn_1 = \frac{12}{3} = 4, \quad n_2 = \frac{15}{3} = 5, \quad n_3 = \frac{18}{3} = 6 = \boxed{4\ , 5 \text{e} 6 \text{peda}ç\text{os}}
NÃO CAIA NESSA!

Dividir o MDC pelo comprimento em vez do contrário, ou esquecer de dividir uma das ripas.

Passo 4 — Somar os pedaços de todas as ripas

O total de pedaços é a soma dos pedaços obtidos de cada ripa, pois todos têm o mesmo tamanho e não sobra madeira.

Por que esta fórmula: A soma dos quocientes dá o número total de pedaços, já que cada ripa é totalmente utilizada.

N=n1+n2+n3N = n_1 + n_2 + n_3

De onde vem cada valor: n1n_1 = passo 3: 4 · n2n_2 = passo 3: 5 · n3n_3 = passo 3: 6

N=4+5+6=15 pedac\cosN = 4 + 5 + 6 = \boxed{15\ \text{peda}ç\text{os}}
NÃO CAIA NESSA!

Somar os comprimentos originais (12+15+18=45) e dividir por 3, o que também dá 15, mas sem entender o porquê; ou esquecer de somar uma das ripas.

Resposta: 15 pedaços — alternativa B

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