Pular para o conteúdo principal

Questão de Matemática — Geral — VUNESP 2025

MatemáticaGeral
Código
vu219521
Banca
VUNESP
Órgão
Pref Sorocaba
Ano
2025
Cargo
DEsc ( )
Em uma empresa, há quatro valores salariais distintos. Doze funcionários ganham o salário mais baixo, que é de R$ 1.500,00, e três funcionários ganham o mais alto, sendo que a diferença entre o salário mais alto e o mais baixo é de R$ 800,00. Sabe-se que a média entre os dois salários de valores intermediários, ou seja, que estão entre o salário mais baixo e o salário mais alto, é igual a R$ 1.800,00, e que os números de funcionários que recebem cada um desses salários intermediários são iguais. Se a média salarial nessa empresa é de R$ 1.716,00, seu número total de funcionários é igual a
  1. A19.
  2. B20.
  3. C21.
  4. D24.
  5. E25.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoE — 25.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra E — a conta chega a 25 funcionários — alternativa E.

A ideia por trás

A média salarial de uma empresa é um número que resume todos os salários em um só valor: é como se todos recebessem o mesmo valor e a folha de pagamento total não mudasse. Para calcular, somamos o que cada funcionário recebe e dividimos pelo total de funcionários. Como há grupos com salários diferentes, usamos a média ponderada: multiplicamos cada salário pela quantidade de pessoas que o recebem, somamos tudo e dividimos pelo total de pessoas.

A média ponderada é dada por M = (soma dos produtos salário × quantidade) / (soma das quantidades). Cada termo do numerador é o quanto aquele grupo contribui para a folha total; o denominador é o número de funcionários. Se um grupo tem mais gente, ele 'puxa' a média para perto do seu salário. Aqui, a incógnita é a quantidade de funcionários em cada nível intermediário, que aparece tanto no numerador quanto no denominador, então montamos uma equação e resolvemos.

Esta questão fornece a média final e pede o total de funcionários. O caminho é escrever a média ponderada em função da quantidade desconhecida x de funcionários em cada nível intermediário, igualar ao valor dado e resolver a equação.

O que a questão dá

  • salário mais baixo = R$ 1.500,00

  • funcionários com salário mais baixo = 12

  • diferença entre salário mais alto e mais baixo = R$ 800,00

  • funcionários com salário mais alto = 3

  • média dos dois salários intermediários = R$ 1.800,00

  • número de funcionários em cada salário intermediário = igual (x)

  • média salarial da empresa = R$ 1.716,00

O que queremos: o número total de funcionários da empresa

Passo 1 — Calcular o salário mais alto

Precisamos conhecer todos os salários para montar a média ponderada. O enunciado diz que o mais alto é R$ 800,00 maior que o mais baixo, então somamos essa diferença.

Por que esta fórmula: É uma simples adição: salário mais alto = salário mais baixo + diferença.

Salto=Sbaixo+800S_{alto} = S_{baixo} + 800

De onde vem cada valor: SbaixoS_{baixo} = enunciado: R$ 1.500,00 · 800800 = enunciado: diferença entre os salários

Salto=1500+800S_{alto} = 1500 + 800

SaltoS_{alto} = R$ 2.300,00

NÃO CAIA NESSA!

Subtrair em vez de somar, obtendo R$ 700,00.

Passo 2 — Descobrir a soma dos salários intermediários

A média dos dois salários intermediários é dada, mas precisamos da soma deles para usar na média ponderada. A média de dois números é a soma dividida por 2, então a soma é o dobro da média.

Por que esta fórmula: Média = (a + b)/2, logo a + b = 2 × média.

a+b=2×Mintera + b = 2 \times M_{inter}

De onde vem cada valor: MinterM_{inter} = enunciado: R$ 1.800,00

a+b=2×1800a + b = 2 \times 1800

R$ 3.600,00

NÃO CAIA NESSA!

Usar 1800 como se fosse a soma, esquecendo de multiplicar por 2.

Passo 3 — Montar a equação da média ponderada

Agora temos todos os salários e as quantidades em função de x (o número de funcionários em cada nível intermediário). A média geral é a soma de cada salário vezes sua quantidade, dividida pelo total de funcionários. Igualamos isso ao valor dado.

Por que esta fórmula: A média ponderada é a fórmula que relaciona salários, quantidades e média final. Aqui, os dois níveis intermediários têm o mesmo número x de funcionários, então a contribuição deles é x·a + x·b = x·(a+b).

1716=12×1500+x×(a+b)+3×230012+x+x+31716 = \frac{12 \times 1500 + x \times (a+b) + 3 \times 2300}{12 + x + x + 3}

De onde vem cada valor: 1212 = enunciado: funcionários com salário mais baixo · 15001500 = enunciado: salário mais baixo · xx = definição: incógnita, número de funcionários em cada nível intermediário · a+ba+b = passo 2: 3600 · 33 = enunciado: funcionários com salário mais alto · 23002300 = passo 1: salário mais alto

1716=12×1500+x×3600+3×230012+x+x+31716 = \frac{12 \times 1500 + x \times 3600 + 3 \times 2300}{12 + x + x + 3}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar x pela soma dos intermediários, usando apenas um deles.

Passo 4 — Simplificar a equação

Para resolver, precisamos de uma equação mais limpa. Calculamos os produtos constantes e somamos os termos com x no denominador.

Por que esta fórmula: Fazemos as contas indicadas: 12×1500 = 18000, 3×2300 = 6900, e no denominador 12+3 = 15, mais 2x.

1716=18000+3600x+690015+2x1716 = \frac{18000 + 3600x + 6900}{15 + 2x}

De onde vem cada valor: 1800018000 = constante: 12 × 1500 · 3600x3600x = constante: x × 3600 · 69006900 = constante: 3 × 2300 · 1515 = constante: 12 + 3 · 2x2x = constante: x + x

1716=24900+3600x15+2x1716 = \frac{24900 + 3600x}{15 + 2x}
NÃO CAIA NESSA!

Somar 18000 + 6900 = 24900, mas esquecer de somar 2x no denominador.

Passo 5 — Multiplicar em cruz

A equação tem uma fração igual a um número. Para eliminar o denominador, multiplicamos ambos os lados pelo denominador.

Por que esta fórmula: Multiplicar em cruz é a forma de isolar a incógnita quando há uma proporção.

1716×(15+2x)=24900+3600x1716 \times (15 + 2x) = 24900 + 3600x

De onde vem cada valor: 17161716 = enunciado: média salarial · 15+2x15 + 2x = passo 4: denominador da fração · 24900+3600x24900 + 3600x = passo 4: numerador da fração

1716×(15+2x)=24900+3600x1716 \times (15 + 2x) = 24900 + 3600x
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar 1716 por ambos os termos dentro do parêntese.

Passo 6 — Distribuir e isolar x

Agora temos uma equação linear. Precisamos expandir o produto e juntar os termos com x de um lado e as constantes do outro.

Por que esta fórmula: Distribuímos 1716 por 15 e por 2x, depois subtraímos 24900 e 3432x dos dois lados para isolar x.

25740+3432x=24900+3600x25740 + 3432x = 24900 + 3600x

De onde vem cada valor: 2574025740 = constante: 1716 × 15 · 3432x3432x = constante: 1716 × 2x · 2490024900 = passo 4: constante do lado direito · 3600x3600x = passo 4: termo com x do lado direito

25740+3432x=24900+3600x25740 + 3432x = 24900 + 3600x
NÃO CAIA NESSA!

Errar a multiplicação 1716×15 = 25740, ou inverter os sinais ao mover termos.

Passo 7 — Resolver a equação para x

Com os termos agrupados, resolvemos a equação do primeiro grau para achar quantos funcionários há em cada nível intermediário.

Por que esta fórmula: Subtraímos 24900 de ambos os lados e 3432x de ambos os lados, obtendo 840 = 168x, e dividimos por 168.

x=840168x = \frac{840}{168}

De onde vem cada valor: 840840 = constante: 25740 - 24900 · 168168 = constante: 3600 - 3432

x=840168=5 funcionaˊriosx = \frac{840}{168} = \boxed{5\ \text{funcion}á\text{rios}}
NÃO CAIA NESSA!

Errar a subtração 3600 - 3432 = 168, ou dividir errado.

Passo 8 — Calcular o total de funcionários

Agora que sabemos x, somamos todos os funcionários: os 12 do salário baixo, os x de cada intermediário (dois níveis) e os 3 do salário alto.

Por que esta fórmula: Total = 12 + x + x + 3.

Total=12+2x+3Total = 12 + 2x + 3

De onde vem cada valor: 1212 = enunciado: funcionários com salário mais baixo · 2x2x = passo 7: dois níveis intermediários, cada um com x funcionários · 33 = enunciado: funcionários com salário mais alto

Total=12+2×5+3=25 funcionaˊriosTotal = 12 + 2 \times 5 + 3 = \boxed{25\ \text{funcion}á\text{rios}}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer de multiplicar x por 2, contando apenas um nível intermediário.

Resposta: 25 funcionários — alternativa E

Link permanente: /questoes/vu219521