Em janeiro uma escola comprou 18 litros de água sanitária e 25 rolos de papel higiênico, gastando R$ 98,00. Em fevereiro, os preços unitários desses dois produtos permaneceram os mesmos, e a quantidade comprada de água sanitária aumentou em 50% e a de papel higiênico em 20%, de maneira que o gasto ficou em R$ 136,50. Nas condições dadas, a soma do preço de 1 litro de água sanitária com o de 1 rolo de papel higiênico é igual a
AR$ 4,40.
BR$ 4,60.
CR$ 4,80.
DR$ 4,90.
ER$ 5,10.
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GabaritoD — R$ 4,90.
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Resolução
Gabarito: letra D — a conta chega a R$ 4,90 — alternativa D.
A ideia por trás
Um sistema de equações do 1º grau é um conjunto de duas ou mais equações que precisam ser verdadeiras ao mesmo tempo. Aqui, cada equação representa uma compra: o gasto total é a soma das quantidades multiplicadas pelos preços. As incógnitas são os preços unitários, que não mudam de um mês para o outro.
A equação que modela cada compra é: (quantidade de água sanitária) × (preço do litro) + (quantidade de papel higiênico) × (preço do rolo) = gasto total. Se uma quantidade aumenta em 50%, ela vira 1,5 vezes a original; se aumenta em 20%, vira 1,2 vezes. O sistema tem duas equações e duas incógnitas, e pode ser resolvido por substituição ou por combinação linear (multiplicar as equações para eliminar uma incógnita).
Esta questão pede para montar o sistema a partir dos dois meses, resolver para achar os preços unitários e então somá-los. O passo crítico é calcular corretamente as novas quantidades de fevereiro.
O que a questão dá
Janeiro: 18 litros de água sanitária e 25 rolos de papel higiênico, gasto R$ 98,00
Fevereiro: água sanitária aumentou 50%, papel higiênico aumentou 20%, gasto R$ 136,50
Preços unitários constantes entre os meses
O que queremos: a soma do preço de 1 litro de água sanitária com o de 1 rolo de papel higiênico
Passo 1 — Definir as incógnitas e montar a equação de janeiro
Para transformar o problema em contas, precisamos dar nomes aos preços que queremos descobrir. Chamamos de a o preço do litro de água sanitária e de p o preço do rolo de papel higiênico. A compra de janeiro é a primeira informação que vira equação.
Por que esta fórmula: O gasto total é a soma dos gastos com cada produto: quantidade vezes preço. Como foram 18 litros de água sanitária e 25 rolos de papel, a equação é 18a + 25p = 98.
De onde vem cada valor: = enunciado: 18 litros de água sanitária em janeiro · = definição: preço do litro de água sanitária · = enunciado: 25 rolos de papel higiênico em janeiro · = definição: preço do rolo de papel higiênico · = enunciado: gasto de janeiro, R$ 98,00
NÃO CAIA NESSA!
Trocar as quantidades: usar 25a + 18p = 98, o que inverte os produtos.
Passo 2 — Calcular as quantidades de fevereiro
Em fevereiro os preços são os mesmos, mas as quantidades mudaram. Precisamos saber quantos litros e quantos rolos foram comprados para montar a segunda equação.
Por que esta fórmula: Aumentar 50% significa multiplicar por 1,5 (100% + 50% = 150% = 1,5). Aumentar 20% significa multiplicar por 1,2 (100% + 20% = 120% = 1,2).
De onde vem cada valor: = enunciado: quantidade de janeiro · = constante: fator de aumento de 50% · = enunciado: quantidade de janeiro · = constante: fator de aumento de 20% · = resultado da multiplicação 18 × 1,5 · = resultado da multiplicação 25 × 1,2
NÃO CAIA NESSA!
Somar 50% como 18 + 0,5 = 18,5 em vez de multiplicar por 1,5.
Passo 3 — Montar a equação de fevereiro
Com as novas quantidades, o gasto de fevereiro também vira uma equação. Agora temos duas equações com as mesmas incógnitas a e p, formando o sistema.
Por que esta fórmula: Mesma lógica da equação de janeiro: quantidade vezes preço somada. As quantidades agora são 27 e 30, e o gasto é R$ 136,50.
De onde vem cada valor: = passo 2: litros de água sanitária em fevereiro · = definição: preço do litro de água sanitária · = passo 2: rolos de papel higiênico em fevereiro · = definição: preço do rolo de papel higiênico · = enunciado: gasto de fevereiro
NÃO CAIA NESSA!
Usar as quantidades de janeiro na equação de fevereiro, esquecendo o aumento.
Passo 4 — Eliminar a incógnita a por combinação linear
Com duas equações e duas incógnitas, precisamos de um método para achar os valores. A combinação linear consiste em multiplicar as equações por números que façam os coeficientes de uma incógnita ficarem iguais, para depois subtrair uma da outra e sobrar só a outra incógnita.
Por que esta fórmula: Multiplicando a primeira equação por 3, o coeficiente de a vira 54; multiplicando a segunda por 2, também vira 54. Assim, ao subtrair, o termo 54a se anula.
De onde vem cada valor: = constante: escolhido para igualar os coeficientes de a (18 × 3 = 54 e 27 × 2 = 54) · = constante: escolhido para igualar os coeficientes de a · = passo 1: gasto de janeiro · = passo 3: gasto de fevereiro
NÃO CAIA NESSA!
Multiplicar apenas um lado da equação, esquecendo de multiplicar o termo independente.
Passo 5 — Subtrair as equações para achar p
Subtraindo as duas equações, o termo 54a desaparece e sobra uma equação só com p. Isso isola o preço do papel higiênico.
Por que esta fórmula: A subtração é feita termo a termo: (54a - 54a) + (75p - 60p) = 294 - 273. O resultado é 15p = 21.
De onde vem cada valor: = passo 4: 75 - 60 (coeficientes de p) · = passo 4: 294 - 273 (termos independentes)
NÃO CAIA NESSA!
Subtrair na ordem errada, obtendo 15p = -21, o que daria p negativo.
Passo 6 — Dividir para obter o preço do papel
A equação 15p = 21 diz que 15 vezes o preço do papel vale 21. Para achar p, dividimos os dois lados por 15.
Por que esta fórmula: Dividir é a operação inversa da multiplicação: se 15p = 21, então p = 21 ÷ 15.
De onde vem cada valor: = passo 5: resultado da subtração · = passo 5: coeficiente de p
NÃO CAIA NESSA!
Simplificar errado: 21/15 = 1,4, não 1,2.
Passo 7 — Substituir p na equação de janeiro para achar a
Com o preço do papel conhecido, usamos uma das equações originais para descobrir o preço da água sanitária. A equação de janeiro é a mais simples.
Por que esta fórmula: Substituímos p = 1,40 em 18a + 25p = 98, ficando 18a + 35 = 98. Isolamos a subtraindo 35 e dividindo por 18.
De onde vem cada valor: = passo 1: quantidade de água sanitária em janeiro · = definição: preço do litro de água sanitária · = passo 1: quantidade de papel higiênico em janeiro · = passo 6: preço do rolo de papel · = passo 1: gasto de janeiro
NÃO CAIA NESSA!
Usar a equação de fevereiro, o que também funciona, mas é mais fácil errar a conta.
Passo 8 — Isolar a e calcular o preço da água sanitária
Agora é só resolver a equação do passo anterior: subtrair 35 dos dois lados e dividir por 18.
Por que esta fórmula: Para isolar a, fazemos as operações inversas: primeiro subtraímos 35 (porque está somando), depois dividimos por 18 (porque está multiplicando).
De onde vem cada valor: = passo 1: gasto de janeiro · = passo 7: 25 × 1,40 · = passo 1: quantidade de água sanitária
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de subtrair 35 antes de dividir, fazendo 98/18 = 5,44.
Passo 9 — Somar os preços encontrados
A pergunta final é a soma do preço do litro de água sanitária com o do rolo de papel. Já temos os dois valores, então é só somar.
Por que esta fórmula: A soma é direta: a + p.
De onde vem cada valor: = passo 8: preço do litro de água sanitária · = passo 6: preço do rolo de papel