Em uma frutaria algumas frutas são vendidas por unidades. Cada uma delas com seu preço. Certo dia, o 1º cliente comprou 1 abacate e 1 pera, e pagou ao todo 13 reais. O 2º cliente comprou 2 peras e 3 maçãs, e pagou ao todo 14 reais. O 3º cliente comprou 3 maçãs e 2 abacates, e pagou ao todo 24 reais. O 4º cliente comprou 1 abacate, 1 pera, 2 maçãs, e pagou ao todo a quantia de
A17 reais.
B18 reais.
C19 reais.
D20 reais.
E21 reais.
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GabaritoA — 17 reais.
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Resolução
Gabarito: letra A — a conta chega a 17 reais — alternativa A.
A ideia por trás
Um sistema de equações do 1º grau é um conjunto de equações que precisam ser verdadeiras ao mesmo tempo. Cada equação representa uma condição do problema — aqui, cada compra vira uma equação com os preços das frutas como incógnitas. Resolver o sistema é encontrar os valores que satisfazem todas as condições de uma vez.
Quando o número de equações independentes é igual ao número de incógnitas, o sistema é determinado: existe uma única solução. Para resolver, podemos isolar uma incógnita em uma equação e substituir nas outras, ou somar/subtrair equações para eliminar incógnitas. O importante é que cada operação mantenha a igualdade verdadeira.
Esta questão pede uma combinação específica dos preços (A + P + 2M). Em vez de achar cada preço separadamente, podemos combinar as equações dadas para obter diretamente essa expressão, economizando contas.
O que a questão dá
1 abacate + 1 pera = 13 reais
2 peras + 3 maçãs = 14 reais
3 maçãs + 2 abacates = 24 reais
O que queremos: o valor pago por 1 abacate + 1 pera + 2 maçãs
Passo 1 — Montar as equações das compras
Cada compra é uma condição que os preços devem satisfazer. Escrever cada uma como equação transforma o problema em linguagem matemática, permitindo usar as regras da álgebra.
Por que esta fórmula: Se A é o preço do abacate, P o da pera e M o da maçã, então '1 abacate e 1 pera custam 13' vira A + P = 13, e assim por diante.
De onde vem cada valor: = definição: preço do abacate · = definição: preço da pera · = definição: preço da maçã
NÃO CAIA NESSA!
Trocar a ordem das frutas nas equações, por exemplo escrever 2A + 3M = 14 em vez de 2P + 3M = 14.
Passo 2 — Subtrair as equações para eliminar a maçã
A pergunta envolve A + P + 2M. A primeira equação já dá A + P = 13, então falta só descobrir 2M. As equações (2) e (3) têm o mesmo termo 3M, então subtraí-las elimina a maçã e relaciona A e P.
Por que esta fórmula: Subtrair equações é uma operação válida: se duas igualdades são verdadeiras, a diferença entre seus lados esquerdos é igual à diferença entre seus lados direitos. Isso elimina o termo comum 3M.
De onde vem cada valor: = passo 1, equação (3) · = passo 1, equação (2) · = passo 1, equação (3) · = passo 1, equação (2)
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de distribuir o sinal de menos: (3M + 2A) - (2P + 3M) = 3M + 2A - 2P - 3M, não 3M + 2A - 2P + 3M.
Passo 3 — Simplificar a equação obtida
A equação 2A - 2P = 10 ainda tem coeficientes grandes; dividir tudo por 2 a torna mais simples e direta.
Por que esta fórmula: Dividir ambos os lados por 2 mantém a igualdade e simplifica os números.
De onde vem cada valor: = passo 2: 2A - 2P = 10 dividido por 2 · = passo 2: 10 dividido por 2
NÃO CAIA NESSA!
Dividir apenas um lado por 2, esquecendo o outro.
Passo 4 — Somando as equações para achar o abacate
Agora temos duas equações com A e P: A + P = 13 e A - P = 5. Somá-las elimina P e deixa só A.
Por que esta fórmula: Somando equações, os termos com P se cancelam porque um é +P e o outro -P.
De onde vem cada valor: = passo 1, equação (1) · = passo 3 · = passo 1, equação (1) · = passo 3
NÃO CAIA NESSA!
Somar os lados esquerdos mas esquecer de somar os direitos.
Passo 5 — Isolar o preço do abacate
Com 2A = 18, dividir por 2 dá o valor de A.
Por que esta fórmula: Dividir ambos os lados por 2 isola A.
De onde vem cada valor: = passo 4 · = passo 4: coeficiente de A
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer a unidade (reais) no resultado.
Passo 6 — Achar o preço da pera
Com A conhecido, usamos a equação (1) para achar P.
Por que esta fórmula: Substituir A = 9 em A + P = 13 e isolar P.
De onde vem cada valor: = passo 1, equação (1) · = passo 5: 9
NÃO CAIA NESSA!
Usar a equação errada, como A - P = 5, o que daria P = 4 também, mas por sorte; melhor usar a equação original.
Passo 7 — Achar o preço da maçã
Com A e P, usamos a equação (2) para achar M.
Por que esta fórmula: Substituir P = 4 em 2P + 3M = 14 e isolar M.
De onde vem cada valor: = passo 1, equação (2) · = passo 6: 2 × 4 · = passo 1, equação (2): coeficiente de M
NÃO CAIA NESSA!
Esquecer de multiplicar P por 2 antes de subtrair.
Passo 8 — Calcular o total do 4º cliente
Agora temos todos os preços; basta somar conforme a compra do 4º cliente.
Por que esta fórmula: O total é a soma dos preços das frutas compradas: 1 abacate, 1 pera e 2 maçãs.
De onde vem cada valor: = passo 5: 9 · = passo 6: 4 · = passo 7: 2
NÃO CAIA NESSA!
Somar apenas uma maçã (9+4+2=15) ou três (9+4+6=19).