Questão de Raciocínio Lógico — Diagramas Lógicos, Proposições Categóricas, Negação de Quantificadores — VUNESP 2025

Lógica de Primeira Ordem: Proposições Categóricas e Equivalências

Gabarito: letra E. A premissa "todos os irmãos de Karina são humoristas" é uma proposição categórica universal afirmativa (Todo A é B), que pode ser reescrita como uma condicional: "se alguém é irmão de Karina, então essa pessoa é humorista". A alternativa E é a contrapositiva dessa condicional (se não é humorista, então não é irmão de Karina), que é logicamente equivalente à proposição original — por isso é a única conclusão necessariamente verdadeira.

A proposição categórica "Todo A é B" estabelece uma relação de inclusão entre dois conjuntos: o conjunto dos irmãos de Karina está totalmente contido no conjunto dos humoristas. Em termos de lógica de primeira ordem, isso equivale à implicação universal: para todo x, se x é irmão de Karina, então x é humorista. Simbolicamente: ∀x (I(x) → H(x)), onde I(x) = "x é irmão de Karina" e H(x) = "x é humorista".

A chave da questão está em reconhecer que uma condicional e sua contrapositiva são logicamente equivalentes. A contrapositiva de p → q é ¬q → ¬p. Aplicando isso à nossa implicação, obtemos: ∀x (¬H(x) → ¬I(x)), ou seja, "se x não é humorista, então x não é irmão de Karina". Essa é exatamente a forma da alternativa E, aplicada ao caso particular de Carlos.

É importante distinguir a contrapositiva de outras transformações que não são equivalentes. A recíproca (q → p) e a inversa (¬p → ¬q) não preservam o valor lógico da proposição original. Por exemplo, de "todo irmão de Karina é humorista" não se pode concluir que "todo humorista é irmão de Karina" (recíproca), nem que "quem não é irmão de Karina não é humorista" (inversa). A banca explora exatamente essa confusão nas alternativas B e C.

Outro ponto que merece atenção: a premissa nada afirma sobre Karina. Ela diz que todos os irmãos de Karina são humoristas, mas não diz se Karina é ou não irmã de si mesma (o que, em geral, não se considera) nem se ela é humorista. Portanto, não se pode concluir nem que Karina é humorista (alternativa D) nem que ela não é (alternativa A). A relação de irmandade é simétrica entre pessoas distintas, mas a premissa não nos dá informação sobre Karina pertencer ao conjunto dos humoristas.

Guarde a equivalência fundamental: Todo A é B ≡ Se é A, então é B ≡ Se não é B, então não é A. É exatamente essa cadeia de equivalências que separa a alternativa correta das demais.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que Karina não é humorista. A premissa "todos os irmãos de Karina são humoristas" não fornece nenhuma informação sobre Karina. Ela poderia ser humorista ou não, sem contradizer a premissa. Não é uma conclusão necessária.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que se Carlos não é irmão de Karina, então ele é humorista. Isso corresponde à inversa da condicional (¬p → q), que não é equivalente à proposição original. A premissa não estabelece nenhuma relação entre "não ser irmão" e "ser humorista". Carlos pode não ser irmão de Karina e não ser humorista, sem violar a premissa.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que se Carlos não é irmão de Karina, então ele não é humorista. Isso corresponde à inversa da condicional (¬p → ¬q), que também não é equivalente à proposição original. A premissa não permite concluir nada sobre quem não é irmão de Karina. Carlos pode não ser irmão e ainda assim ser humorista.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que Karina é humorista. Assim como a alternativa A, a premissa nada diz sobre Karina. Ela poderia ser humorista ou não, sem contradizer a afirmação de que todos os seus irmãos são humoristas. Não é uma conclusão necessária.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma que se Carlos não é humorista, então ele não é irmão de Karina. Esta é a contrapositiva da proposição original. Como a contrapositiva é logicamente equivalente à condicional, e a condicional é a forma lógica da premissa "todo irmão de Karina é humorista", esta é a única alternativa que representa uma conclusão necessariamente verdadeira.

Gabarito: letra E