Negação de Proposições Quantificadas com Bicondicional
Gabarito: letra A. A negação de "existe servidor que estudou na instituição M se, e somente se, estudou na instituição N" é obtida trocando o quantificador existencial pelo universal e negando o predicado, o que resulta em "todos os servidores ou estudaram na instituição M ou estudaram na instituição N". A regra aplicada é a negação de uma proposição bicondicional, que equivale a uma disjunção exclusiva (ou... ou...), conforme a lógica de primeira ordem.
A questão combina dois tópicos: a negação de quantificadores e a negação de proposições compostas. Vamos por partes. Primeiro, a proposição original é "existe servidor que estudou na instituição M se, e somente se, estudou na instituição N". Em termos lógicos, temos um quantificador existencial (∃) aplicado a uma sentença aberta que contém um bicondicional (↔). A sentença aberta é "x estudou na instituição M se, e somente se, x estudou na instituição N", que pode ser simbolizada como M(x) ↔ N(x).
Para negar uma proposição quantificada, seguimos três passos: (1) trocar o quantificador (existencial vira universal e vice-versa); (2) manter a condição de existência, se houver; (3) negar o predicado. Aplicando isso, a negação de "∃x [M(x) ↔ N(x)]" é "∀x ¬[M(x) ↔ N(x)]". Agora, precisamos negar o bicondicional. A negação de "p ↔ q" é "p ⊕ q" (ou exclusivo), que em linguagem natural é "ou p ou q, mas não ambos". Portanto, "∀x [M(x) ⊕ N(x)]" se lê como "para todo servidor, ou estudou em M ou estudou em N, mas não ambos".
A pegadinha aqui é dupla: primeiro, muitos candidatos esquecem de trocar o quantificador existencial pelo universal; segundo, muitos confundem a negação do bicondicional com a negação de uma conjunção ou de uma condicional. A negação do bicondicional é a disjunção exclusiva, que em português é expressa por "ou... ou...". Vamos ver cada alternativa com esse critério em mente.
Proposição Original | Negação Formal | Alternativa Correspondente | Resultado |
|---|
∃x [M(x) ↔ N(x)] | ∀x ¬[M(x) ↔ N(x)] = ∀x [M(x) ⊕ N(x)] | A) "todos os servidores ou estudaram na instituição M ou estudaram na instituição N" | ✅ Correta |
∃x [M(x) ↔ N(x)] | ∃x [¬M(x) ∨ ¬N(x)] | B) "existe servidor que não estudou na instituição M ou não estudou na instituição N" | ❌ Incorreta |
∃x [M(x) ↔ N(x)] | ∀x [¬M(x) ∧ ¬N(x)] | C) "todos os servidores não estudaram na instituição M e não estudaram na instituição N" | ❌ Incorreta |
∃x [M(x) ↔ N(x)] | ∃x [M(x) ∧ ¬N(x)] | D) "existe servidor que estudou na instituição M e não estudou na instituição N" | ❌ Incorreta |
∃x [M(x) ↔ N(x)] | ∀x [M(x) ∧ N(x)] | E) "todos os servidores estudaram na instituição M e estudaram na instituição N" | ❌ Incorreta |
Alternativa A — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Esta é a negação correta. A proposição original é "existe servidor que estudou na instituição M se, e somente se, estudou na instituição N". Simbolicamente: ∃x [M(x) ↔ N(x)]. A negação é ∀x ¬[M(x) ↔ N(x)], que equivale a ∀x [M(x) ⊕ N(x)], ou seja, "todos os servidores ou estudaram na instituição M ou estudaram na instituição N". A alternativa A expressa exatamente isso: trocou o quantificador existencial pelo universal e negou o bicondicional, transformando-o em disjunção exclusiva.
Alternativa B — ❌ Incorreta
A alternativa B diz "existe servidor que não estudou na instituição M ou não estudou na instituição N". Isso mantém o quantificador existencial, quando deveria trocá-lo pelo universal. Além disso, a negação do bicondicional não é uma disjunção inclusiva de negações; é uma disjunção exclusiva. Portanto, está incorreta.
Alternativa C — ❌ Incorreta
A alternativa C diz "todos os servidores não estudaram na instituição M e não estudaram na instituição N". Isso troca o quantificador corretamente (existencial para universal), mas nega o predicado de forma errada: nega cada parte com conjunção, quando deveria usar disjunção exclusiva. A negação de "M ↔ N" não é "¬M ∧ ¬N". Portanto, está incorreta.
Alternativa D — ❌ Incorreta
A alternativa D diz "existe servidor que estudou na instituição M e não estudou na instituição N". Isso mantém o quantificador existencial e nega apenas uma parte do bicondicional, o que não corresponde à negação correta. A negação de "M ↔ N" não é "M ∧ ¬N". Portanto, está incorreta.
Alternativa E — ❌ Incorreta
A alternativa E diz "todos os servidores estudaram na instituição M e estudaram na instituição N". Isso troca o quantificador corretamente, mas afirma que todos estudaram em ambas, o que é a negação de uma conjunção, não de um bicondicional. A negação de "M ↔ N" não é "M ∧ N". Portanto, está incorreta.
Gabarito: letra A