Questão de Raciocínio Lógico — Diagramas Lógicos, Proposições Categóricas, Negação de Quantificadores — VUNESP 2025

Lógica de Argumentação: Silogismo e Álgebra de Conjuntos

Gabarito: letra E. Todos os passos da demonstração estão corretos e a conclusão é válida. A demonstração utiliza a conversão de proposições categóricas em operações de conjuntos, onde "Todo A é B" é representado por $A \subset B$, e a operação de união ($+$) para combinar conjuntos. A validade do argumento repousa na correta aplicação da propriedade de que, se $A \subset B$, então $A + B = B$.

A questão apresenta uma demonstração formal, no estilo da álgebra de conjuntos, do clássico silogismo: "Todos os homens são mortais. Sócrates é um homem. Portanto, Sócrates é mortal." Para analisar a validade de cada passo, é fundamental compreender a conversão proposta por Boole: a proposição categórica universal afirmativa "Todo A é B" é representada como $A \subset B$ (A está contido em B). A partir dessa representação, a operação de união ($+$) entre conjuntos tem uma propriedade crucial: se $A \subset B$, então $A + B = B$. Isso ocorre porque, se todos os elementos de A também estão em B, a união de A com B é o próprio conjunto B, que já contém todos os elementos de A.

Vamos aplicar essa regra a cada passo da demonstração:

1. Passo 1: A premissa "Todos os homens (H) são mortais (M)" é convertida em $H \subset M$. Pela propriedade da união, como $H \subset M$, temos que $H + M = M$. Este passo está correto.

2. Passo 2: A premissa "Sócrates (S) é um homem (H)" é convertida em $S \subset H$. Pela mesma propriedade, como $S \subset H$, temos que $S + H = H$. Este passo está correto.

3. Passo 3: O passo 2 nos deu que $H = S + H$. Substituindo essa igualdade na equação (1) do passo 1, que é $H + M = M$, obtemos $(S + H) + M = M$. Pela propriedade associativa da união, $(S + H) + M = S + (H + M)$. Como $H + M = M$ (da equação 1), temos que $S + M = M$. A tabela apresenta o passo 3 como $S + H + M = M$, que é uma simplificação correta de $(S + H) + M = M$. Este passo está correto.

4. Passo 4: O passo 3 nos deu que $S + H + M = M$. O passo 1 nos deu que $H + M = M$. Substituindo $H + M$ por $M$ na equação do passo 3, obtemos $S + M = M$. Este passo está correto.

5. Conclusão: A equação $S + M = M$ é a representação algébrica da proposição $S \subset M$, ou seja, "Sócrates é mortal". A conclusão é, portanto, válida.

A demonstração é um exemplo clássico de como a lógica pode ser traduzida para a linguagem da teoria de conjuntos, e cada passo segue rigorosamente as propriedades da inclusão e da união. A banca explora a compreensão dessa correspondência entre a lógica categórica e a álgebra de conjuntos.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma que o passo 3 está incorreto. O passo 3 é uma aplicação correta da substituição da igualdade $H = S + H$ (obtida no passo 2) na equação (1) $H + M = M$. A substituição é válida e a equação resultante $S + H + M = M$ é uma consequência lógica das premissas.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma que o passo 2 está incorreto. O passo 2 converte a premissa "Sócrates é um homem" em $S \subset H$ e, pela propriedade da união, conclui que $S + H = H$. Essa é uma aplicação correta da regra de que, se um conjunto está contido em outro, a união entre eles é o conjunto maior.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma que o passo 4 está incorreto. O passo 4 substitui $H + M$ por $M$ na equação (2) $S + H + M = M$, utilizando a equação (1) $H + M = M$. Essa substituição é perfeitamente válida e leva à equação $S + M = M$, que é a base para a conclusão.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma que o passo 1 está incorreto. O passo 1 converte a premissa "Todos os homens são mortais" em $H \subset M$ e, pela propriedade da união, conclui que $H + M = M$. Essa é a aplicação mais fundamental da regra e está correta.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Todos os passos estão corretos. A demonstração segue uma cadeia lógica impecável: $H \subset M \Rightarrow H + M = M$; $S \subset H \Rightarrow S + H = H$; substituindo $H$ por $S + H$ em $H + M = M$, obtemos $S + H + M = M$; e como $H + M = M$, concluímos que $S + M = M$, o que equivale a $S \subset M$, ou seja, Sócrates é mortal. A conclusão é válida.

Gabarito: letra E