Questão de Raciocínio Lógico — Operadores Lógicos (Representação Simbólica; Diferença entre Proposição Simples e Composta). — VUNESP 2025
Raciocínio Lógico›Operadores Lógicos (Representação Simbólica; Diferença entre Proposição Simples e Composta).
Código
vu222520
Banca
VUNESP
Órgão
SEDUC SP
Ano
2025
Cargo
Prof EFM ( )
Considere as seguintes sentenças:
I. \sqrt 3 < 5
II. x2 + 5x = 0
III. existe x tal que x + 5 = 0.
IV. para todo x real, tem-se que x2 + 1 = 0.
É verdade que as sentenças apresentadas em
AII e III são proposições lógicas.
BI e IV são proposições lógicas.
CI e III não são proposições lógicas.
DI e II são proposições lógicas.
EII e IV não são proposições lógicas.
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GabaritoB — I e IV são proposições lógicas.
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Proposições Lógicas: Definição e Reconhecimento
Gabarito: letra B. As sentenças I e IV são proposições lógicas, pois são orações declarativas que admitem um único valor lógico (verdadeiro ou falso): a sentença I (√3 < 5) é verdadeira, e a sentença IV (para todo x real, x² + 1 = 0) é falsa. As sentenças II e III não são proposições, pois contêm variáveis livres (x) sem quantificação, caracterizando sentenças abertas, cujo valor lógico depende do valor atribuído à variável.
O conceito central desta questão é a definição de proposição lógica: uma oração declarativa que pode ser classificada como verdadeira ou falsa, mas nunca ambos. Para ser proposição, a sentença deve ter verbo (ser uma oração), ser declarativa (apresentar uma afirmação) e não conter variáveis livres que impeçam a atribuição de um valor lógico único. Sentenças interrogativas, exclamativas, imperativas, optativas e sem verbo não são proposições. Além disso, sentenças abertas — aquelas que contêm variáveis sem quantificação — também não são proposições, pois seu valor lógico varia conforme o valor atribuído à variável.
Vamos analisar cada sentença do enunciado:
Sentença I: √3 < 5. É uma oração declarativa, sem variáveis, que afirma uma relação numérica. Como √3 ≈ 1,73, a afirmação é verdadeira. Portanto, é uma proposição lógica.
Sentença II: x² + 5x = 0. Contém a variável x sem quantificação. Para x = 0, a sentença é verdadeira; para x = 1, é falsa. Como não podemos atribuir um valor lógico único, é uma sentença aberta, não uma proposição.
Sentença III: "existe x tal que x + 5 = 0". Esta sentença contém um quantificador existencial ("existe x"). Com o quantificador, a sentença se torna uma afirmação fechada: existe um número real x que satisfaz a equação? Sim, x = -5. Portanto, a sentença é verdadeira e é uma proposição lógica. Atenção: a presença do quantificador "existe" transforma a sentença aberta em uma proposição, pois agora o valor lógico é único.
Sentença IV: "para todo x real, tem-se que x² + 1 = 0". Esta sentença contém um quantificador universal ("para todo x real"). A afirmação é: para qualquer número real x, x² + 1 = 0. Isso é falso, pois x² é sempre não negativo, então x² + 1 é sempre maior ou igual a 1, nunca zero. Portanto, a sentença é uma proposição lógica, com valor lógico falso.
A pegadinha desta questão está em distinguir sentenças abertas (com variáveis livres) de proposições quantificadas. A sentença II é uma sentença aberta, pois a variável x não é quantificada. Já as sentenças III e IV possuem quantificadores ("existe" e "para todo"), o que as torna proposições. A banca explora exatamente essa confusão: o candidato pode pensar que qualquer sentença com variável não é proposição, mas a presença de quantificadores muda essa classificação.
NÃO CAIA NESSA!
A banca tenta fazer o candidato acreditar que as sentenças III e IV, por conterem a variável x, são sentenças abertas e, portanto, não são proposições. No entanto, a presença dos quantificadores "existe" e "para todo" transforma essas sentenças em proposições, pois o valor lógico torna-se único. A sentença II, sem quantificador, é que é uma sentença aberta.
Sentença
Tipo de Sentença
Valor Lógico
É Proposição?
I
Declarativa sem variáveis
Verdadeira
Sim
II
Aberta (variável livre)
Depende de x
Não
III
Quantificada (∃)
Verdadeira
Sim
IV
Quantificada (∀)
Falsa
Sim
Proposição lógica: Requisitos (Oração declarativa, Valor lógico único (V ou F)); Não são proposições (Interrogativas, exclamativas, imperativas, Sentenças abertas (variável livre)); Quantificadores fecham a sentença (Existencial (existe x), Universal (para todo x))
Alternativa A — ❌ Incorreta
Afirma que II e III são proposições lógicas. A sentença II é uma sentença aberta (x² + 5x = 0), pois a variável x não é quantificada, logo não é proposição. A sentença III, com o quantificador existencial, é uma proposição. Portanto, a combinação está errada.
Alternativa B — ✅ Correta ⟵ GABARITO
Afirma que I e IV são proposições lógicas. A sentença I (√3 < 5) é uma oração declarativa verdadeira, sem variáveis, logo é proposição. A sentença IV ("para todo x real, x² + 1 = 0") é uma proposição quantificada, com valor lógico falso. Ambas admitem um único valor lógico, portanto são proposições.
Alternativa C — ❌ Incorreta
Afirma que I e III não são proposições lógicas. A sentença I é uma proposição (verdadeira). A sentença III, com o quantificador existencial, também é uma proposição (verdadeira, pois x = -5 satisfaz a equação). Portanto, a afirmação está errada.
Alternativa D — ❌ Incorreta
Afirma que I e II são proposições lógicas. A sentença I é proposição, mas a sentença II é uma sentença aberta, pois contém a variável x sem quantificação. Logo, II não é proposição, e a combinação está errada.
Alternativa E — ❌ Incorreta
Afirma que II e IV não são proposições lógicas. A sentença II é uma sentença aberta, portanto não é proposição. No entanto, a sentença IV, com o quantificador universal, é uma proposição (falsa). Logo, a afirmação de que IV não é proposição está errada.