Questão de Raciocínio Lógico — Equivalências Lógicas (Inclui Negação de Proposições Compostas) — VUNESP 2025

Equivalências Lógicas: Contrapositiva da Condicional

Gabarito: letra E. A proposição original é uma condicional do tipo $P \rightarrow Q$, em que $P$ = "a cozinha não está organizada" e $Q$ = "Filomena estava doente ou ela ficou o dia todo fora". A equivalência lógica clássica da condicional é a contrapositiva: $P \rightarrow Q \iff \sim Q \rightarrow \sim P$. Aplicando-a, negamos o consequente (a disjunção "doente ou fora" vira a conjunção "não estava doente e não ficou fora") e negamos o antecedente ("a cozinha não está organizada" vira "a cozinha está organizada"), invertendo a ordem — exatamente o que a letra E apresenta.

A equivalência lógica é o coração do raciocínio lógico em concursos. Duas proposições são logicamente equivalentes quando possuem a mesma tabela-verdade, ou seja, assumem os mesmos valores lógicos (V ou F) em todas as combinações possíveis de suas proposições simples. Isso significa que, em qualquer situação concreta, se uma é verdadeira, a outra também será, e se uma é falsa, a outra também será — podemos substituir uma pela outra sem alterar o valor lógico do raciocínio.

Para a condicional $P \rightarrow Q$ ("se P, então Q"), existem duas equivalências fundamentais que você precisa dominar:

1. Contrapositiva: $P \rightarrow Q \iff \sim Q \rightarrow \sim P$ — nega-se ambos os termos e inverte-se a ordem ("volta negando").

2. Transformação em disjunção: $P \rightarrow Q \iff \sim P \lor Q$ — nega-se o antecedente, mantém-se o consequente e troca-se o conectivo por "ou".

A pegadinha desta questão está na negação do consequente, que é uma disjunção inclusiva ("ou"). Pela Lei de De Morgan, a negação de uma disjunção é a conjunção das negações: $\sim (A \lor B) \iff \sim A \land \sim B$. Ou seja, negar "estava doente ou ficou fora" resulta em "não estava doente e não ficou fora". É exatamente essa transformação que separa a alternativa correta das demais.

Vamos aplicar isso passo a passo à proposição do enunciado:

• $P$: "a cozinha não está organizada"

• $Q$: "Filomena estava doente ou ela ficou o dia todo fora" (que é $A \lor B$, com $A$ = "estava doente" e $B$ = "ficou fora")

• Original: $P \rightarrow Q$

• Contrapositiva: $\sim Q \rightarrow \sim P$

• $\sim Q$ = $\sim (A \lor B)$ = $\sim A \land \sim B$ = "Filomena não estava doente e não ficou o dia todo fora"

• $\sim P$ = "a cozinha está organizada"

• Resultado: "Se Filomena não estava doente e não ficou o dia todo fora, então a cozinha está organizada" — letra E.

A banca explora aqui a confusão entre equivalência e negação. A negação da condicional $P \rightarrow Q$ seria $P \land \sim Q$ ("a cozinha não está organizada e Filomena não estava doente e não ficou fora"), que não aparece nas alternativas. As alternativas incorretas misturam elementos da contrapositiva com erros na negação da disjunção ou na ordem dos termos. Guarde o par: contrapositiva (equivalência) = nega os dois e inverte; negação da condicional = mantém o antecedente, nega o consequente e troca por "e". É nessa fronteira que as alternativas se dividem.

Alternativa A — ❌ Incorreta

Afirma "Se a cozinha está organizada, então Filomena não estava doente e ela não ficou o dia todo fora". Aqui o antecedente foi negado ($\sim P$), mas o consequente também foi negado ($\sim Q$), mantendo a ordem original. Isso corresponde a $\sim P \rightarrow \sim Q$, que não é equivalente à condicional original — é a chamada "negativa do antecedente", uma falácia lógica. A contrapositiva exige inverter a ordem: $\sim Q \rightarrow \sim P$.

Alternativa B — ❌ Incorreta

Afirma "Se Filomena não estava doente ou não ficou o dia todo fora, então a cozinha está organizada". O erro está na negação da disjunção: negar "doente ou fora" exige a conjunção "não doente e não fora" (Lei de De Morgan), não a disjunção "não doente ou não fora". Além disso, a ordem está correta (consequente negado primeiro), mas o conectivo interno está errado, o que invalida a equivalência.

Alternativa C — ❌ Incorreta

Afirma "Se Filomena estava doente ou ficou o dia todo fora, então a cozinha não está organizada". Esta é a recíproca da original ($Q \rightarrow P$), que não é logicamente equivalente à condicional. A condicional não goza da comutatividade: $P \rightarrow Q$ e $Q \rightarrow P$ têm tabelas-verdade diferentes. A banca tenta confundir o candidato apresentando a recíproca como se fosse a contrapositiva.

Alternativa D — ❌ Incorreta

Afirma "Se a cozinha está organizada, então Filomena não estava doente ou ela não ficou o dia todo fora". Repete o erro da alternativa A (nega os dois termos sem inverter a ordem) e ainda usa a disjunção "ou" no consequente, quando a negação correta da disjunção exige a conjunção "e". É uma combinação de dois erros: ordem incorreta e conectivo interno incorreto.

Alternativa E — ✅ Correta ⟵ GABARITO

Afirma "Se Filomena não estava doente e não ficou o dia todo fora, então a cozinha está organizada". Esta é a contrapositiva perfeita: $\sim Q \rightarrow \sim P$. O consequente original (disjunção) foi negado corretamente pela Lei de De Morgan ("não doente e não fora"), e a ordem foi invertida, com o antecedente negado ("cozinha está organizada"). A tabela-verdade desta proposição é idêntica à da original, confirmando a equivalência lógica.

Gabarito: letra E