GabaritoB — m ≥ n ∧ p ≤ q.
Gabarito: letra B. A negação de uma disjunção inclusiva "P ou Q" é a conjunção das negações "não P e não Q" (1ª Lei de De Morgan). Aplicando à proposição "m < n ∨ p > q", obtemos "m ≥ n ∧ p ≤ q", pois a negação de "m < n" é "m ≥ n" e a negação de "p > q" é "p ≤ q".
A negação de proposições compostas é um dos tópicos mais cobrados em Raciocínio Lógico, e a chave está em entender que negar não é apenas trocar o sinal de uma desigualdade — é inverter o valor lógico da proposição inteira. Quando temos uma disjunção inclusiva (conectivo "ou"), a proposição composta "P ou Q" só é falsa em um único caso: quando ambas as proposições simples são falsas. Portanto, para negar "P ou Q", precisamos afirmar que nem P é verdadeira, nem Q é verdadeira — ou seja, "não P e não Q". Essa é a essência da 1ª Lei de De Morgan, que em símbolos se escreve: ~(p ∨ q) ⇔ ~p ∧ ~q.
O erro mais comum nesse tipo de questão é negar apenas uma das partes ou esquecer de trocar o conectivo. A regra é dupla e simultânea: (1) nega-se cada proposição simples; (2) troca-se o "ou" pelo "e" (e vice-versa, quando a proposição original for uma conjunção). Vamos aplicar isso à proposição do enunciado, "m < n ∨ p > q":
Negar a primeira parte: a negação de "m < n" (m menor que n) é "m ≥ n" (m maior ou igual a n). Aqui mora a pegadinha clássica: muitos candidatos escrevem apenas "m > n", esquecendo que a negação de "menor que" inclui a possibilidade de igualdade. Se m = n, a afirmação "m < n" é falsa, logo "m ≥ n" é verdadeira — e é exatamente isso que a negação exige.
Negar a segunda parte: a negação de "p > q" (p maior que q) é "p ≤ q" (p menor ou igual a q), pelo mesmo raciocínio: se p = q, "p > q" é falsa, então "p ≤ q" é verdadeira.
Trocar o conectivo: o "ou" (∨) vira "e" (∧).
Resultado: "m ≥ n ∧ p ≤ q", que corresponde exatamente à alternativa B.
Para fixar, veja a tabela comparativa das negações mais cobradas:
Proposição original | Negação | Regra |
|---|---|---|
p ∧ q (e) | ~p ∨ ~q | Nega as duas e troca "e" por "ou" |
p ∨ q (ou) | ~p ∧ ~q | Nega as duas e troca "ou" por "e" |
p → q (se... então) | p ∧ ~q | Mantém a primeira e nega a segunda (MANÉ) |
p ↔ q (se e somente se) | p ∨ q (ou exclusivo) | Mostra que são excludentes |
Guarde essa distinção: a negação de uma conjunção vira uma disjunção, e a negação de uma disjunção vira uma conjunção. É exatamente essa troca de conectivos que as alternativas desta questão exploram — algumas mantêm o "ou" (como a letra A), outras trocam os sinais de desigualdade de forma incompleta (como as letras C e E).
A alternativa A apresenta "m ≥ n ∨ p ≤ q". O erro está em manter o conectivo "ou" (∨) em vez de trocá-lo por "e" (∧). A 1ª Lei de De Morgan exige que a negação de uma disjunção seja uma conjunção: ~(p ∨ q) ⇔ ~p ∧ ~q. Embora as negações das desigualdades estejam corretas ("m ≥ n" e "p ≤ q"), a manutenção do "ou" faz com que a proposição seja verdadeira quando apenas uma das partes é verdadeira — o que não corresponde à negação da proposição original, que só é falsa quando ambas são falsas.
A alternativa B apresenta "m ≥ n ∧ p ≤ q", que é exatamente a aplicação correta da 1ª Lei de De Morgan. Negamos cada proposição simples ("m < n" vira "m ≥ n"; "p > q" vira "p ≤ q") e trocamos o conectivo "ou" pelo "e". O resultado é a conjunção das negações, que é falsa apenas quando ambas as partes são falsas — ou seja, o oposto lógico exato da disjunção original.
A alternativa C apresenta "m > n ∨ p < q". Aqui há dois erros: primeiro, as negações das desigualdades estão incompletas — a negação de "m < n" é "m ≥ n" (incluindo a igualdade), não apenas "m > n"; e a negação de "p > q" é "p ≤ q", não apenas "p < q". Segundo, o conectivo "ou" foi mantido, quando deveria ser trocado por "e". A alternativa ignora completamente o caso de igualdade, que é justamente o ponto que a banca explora.
A alternativa D apresenta "m < n ∧ p > q". Esta alternativa mantém as proposições originais intactas e apenas troca o conectivo "ou" por "e". Isso não é uma negação — é uma proposição diferente, que afirma que ambas as desigualdades são verdadeiras simultaneamente. A negação exige que neguemos cada proposição simples, não que as mantenhamos. Além disso, a conjunção "m < n ∧ p > q" pode ser verdadeira em situações em que a disjunção original também é verdadeira, o que viola o princípio fundamental de que negação e proposição original devem ter valores lógicos sempre opostos.
A alternativa E apresenta "m > n ∧ p < q". O conectivo foi corretamente trocado para "e", mas as negações das desigualdades estão incompletas: "m > n" não é a negação de "m < n" (falta o caso de igualdade, que seria "m ≥ n"), e "p < q" não é a negação de "p > q" (falta "p ≤ q"). A banca troca sutilmente o sinal de "≥" por ">" e de "≤" por "<", fazendo o candidato esquecer que a igualdade também nega a desigualdade estrita.
A banca adora explorar a negação de desigualdades estritas. Muitos candidatos, ao negar "m < n", escrevem automaticamente "m > n", esquecendo que a negação correta é "m ≥ n". O mesmo vale para "p > q", cuja negação é "p ≤ q", não "p < q". A igualdade é o ponto cego: se m = n, a afirmação "m < n" é falsa, então sua negação "m ≥ n" é verdadeira. Fique atento a esse detalhe — ele separa a alternativa correta das incorretas.
Para negar proposições com conectivos, siga sempre o passo a passo: (1) identifique o conectivo principal ("ou", "e", "se... então"); (2) aplique a regra de negação correspondente — para "ou", troque por "e" e negue as duas partes; (3) ao negar desigualdades, lembre-se de incluir a igualdade: a negação de "<" é "≥", e a negação de ">" é "≤". Treine com vários exemplos até que essa troca se torne automática.
Gabarito: letra B
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