GabaritoC — (∃ x ∈ \mathbb{R}) | x2 + 4 = 0.
Gabarito: letra C. A alternativa C é a única que apresenta uma proposição lógica, pois é uma sentença declarativa com valor lógico definido (falso, no caso), enquanto as demais são sentenças abertas, interrogativas, exclamativas ou imperativas, que não podem ser valoradas como verdadeiras ou falsas.
Uma proposição lógica é uma oração declarativa que afirma algo sobre o mundo, podendo ser classificada como verdadeira ou falsa, mas nunca ambas. Esse é o princípio da bivalência, que rege a lógica clássica. Para ser proposição, a sentença deve ter sentido completo, conter verbo e ser declarativa — ou seja, não pode ser interrogativa, exclamativa, imperativa ou optativa. Além disso, não pode ser uma sentença aberta, que contém variáveis livres e, portanto, não tem valor lógico definido sem a atribuição de valores a essas variáveis.
A alternativa C, "(∃ x ∈ ℝ) | x² + 4 = 0", é uma proposição quantificada: afirma que existe um número real x tal que x² + 4 = 0. Essa afirmação é falsa, pois x² + 4 ≥ 4 para todo x real, nunca igual a zero. Como tem valor lógico definido (falso), é uma proposição lógica. As demais alternativas falham por diferentes razões: A e E são sentenças abertas (contêm variáveis sem quantificação), B é interrogativa e D é exclamativa.
A banca explora exatamente a distinção entre sentenças que podem ser valoradas e aquelas que não podem. A pegadinha está em reconhecer que uma sentença com quantificador existencial é uma proposição, mesmo que seja falsa, enquanto uma sentença aberta como "x + y = 1" não é proposição, pois seu valor lógico depende dos valores de x e y.
Alternativa | Tipo de sentença | Variável livre? | Quantificador? | Valor lógico definido? | É proposição? |
|---|---|---|---|---|---|
A) x + y = 1 | Aberta | Sim (x, y) | Não | Não (depende de x, y) | Não |
B) Você sabe o que é Lógica Matemática? | Interrogativa | — | — | Não (pergunta) | Não |
C) (∃ x ∈ ℝ) | x² + 4 = 0 | Quantificada | Não | Sim (∃) | Sim (Falso) | Sim |
D) Excelente! | Exclamativa | — | — | Não (emoção) | Não |
E) x ≤ 12 | Aberta | Sim (x) | Não | Não (depende de x) | Não |
A expressão "x + y = 1" é uma sentença aberta, pois contém variáveis livres (x e y) sem quantificação. Seu valor lógico depende dos valores atribuídos a x e y: para x=0 e y=1 é verdadeira, para x=0 e y=0 é falsa. Como não tem valor lógico único, não é proposição.
"Você sabe o que é Lógica Matemática?" é uma sentença interrogativa. Perguntas não afirmam nem negam algo, portanto não podem ser valoradas como verdadeiras ou falsas. Não é proposição.
"(∃ x ∈ ℝ) | x² + 4 = 0" é uma proposição quantificada com o quantificador existencial (∃). Ela afirma que existe um número real x que satisfaz a equação x² + 4 = 0. Essa afirmação é falsa, pois x² + 4 ≥ 4 para todo x real, nunca igual a zero. Como tem valor lógico definido (falso), é uma proposição lógica.
"Excelente!" é uma sentença exclamativa, que expressa emoção ou admiração. Não é declarativa e não pode ser valorada como verdadeira ou falsa. Não é proposição.
"x ≤ 12" é uma sentença aberta, pois contém a variável livre x sem quantificação. Seu valor lógico depende do valor de x: para x=5 é verdadeira, para x=20 é falsa. Como não tem valor lógico único, não é proposição.
A banca tenta confundir o candidato com a alternativa C, que parece uma sentença aberta por conter a variável x. Mas o quantificador existencial (∃) transforma a expressão em uma proposição com valor lógico definido (falso). Já as alternativas A e E, sem quantificador, são sentenças abertas e não proposições. Fique atento: a presença de quantificador é o que decide!
Para identificar proposições, verifique: (1) é declarativa? (2) tem verbo? (3) tem valor lógico único? Se for interrogativa, exclamativa, imperativa, optativa ou sentença aberta (com variável livre), não é proposição. Lembre-se: sentença aberta + quantificador = proposição.
Gabarito: letra C
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