Questão de Raciocínio Lógico — Lógica de Primeira Ordem — VUNESP 2025

Negação de Quantificadores e Leis de Morgan

Gabarito: letra C. A negação de uma sentença universal com conjunção, $\neg(\forall x)(P \land Q)$, é a sentença existencial com a negação da conjunção, $(\exists x)\neg(P \land Q)$, que, pelas Leis de Morgan, equivale a $(\exists x)(\neg P \lor \neg Q)$. Aplicando isso à sentença dada, obtemos $(\exists x)(x + 5 \ge 3 \lor x + 1 < 7)$, que é exatamente a alternativa C.

A questão cobra dois conceitos que andam juntos: a negação de quantificadores e as Leis de Morgan. Vamos destrinchá-los.

1. Negação de Quantificadores

Em lógica de primeira ordem, os quantificadores têm negações bem definidas:

• A negação de "para todo x, P(x)" é "existe x, não P(x)": $\neg(\forall x)P(x) \equiv (\exists x)\neg P(x)$.

• A negação de "existe x, P(x)" é "para todo x, não P(x)": $\neg(\exists x)P(x) \equiv (\forall x)\neg P(x)$.

Ou seja, ao negar uma sentença quantificada, o quantificador universal vira existencial (e vice-versa), e a negação "entra" na sentença.

2. Leis de Morgan

As Leis de Morgan estabelecem a negação de proposições compostas:

• A negação de uma conjunção é a disjunção das negações: $\neg(P \land Q) \equiv \neg P \lor \neg Q$.

• A negação de uma disjunção é a conjunção das negações: $\neg(P \lor Q) \equiv \neg P \land \neg Q$.

3. Aplicando ao problema

A sentença original é $(\forall x)(x + 5 < 3 \land x + 1 \ge 7)$. Vamos negá-la passo a passo:

1. Negamos o quantificador: $\neg(\forall x) \equiv (\exists x)$.

2. Negamos a proposição composta: $\neg(x + 5 < 3 \land x + 1 \ge 7)$.

3. Aplicamos a Lei de Morgan: $\neg(x + 5 < 3) \lor \neg(x + 1 \ge 7)$.

4. Negamos as desigualdades: $x + 5 \ge 3 \lor x + 1 < 7$.

Portanto, a negação é $(\exists x)(x + 5 \ge 3 \lor x + 1 < 7)$.

4. Exemplo prático

Suponha que a sentença original seja "para todo número x, x é par e x é múltiplo de 3". A negação seria "existe um número x que não é par ou não é múltiplo de 3". Perceba que basta um único contraexemplo para derrubar a afirmação universal.

5. A pegadinha da banca

A banca explora a confusão entre negar a conjunção e negar cada termo. Muitos candidatos negam apenas o primeiro termo ou mantêm a conjunção, esquecendo que a negação de "e" é "ou". Além disso, é comum esquecer de inverter o quantificador.

Guarde a sequência: inverte o quantificador → nega a proposição composta → aplica a Lei de Morgan → nega cada termo. É exatamente esse passo a passo que separa as alternativas.

Alternativa A — ❌ Incorreta

A alternativa A apresenta $(\exists x)(x + 5 > 3 \lor x + 1 \le 7)$. O erro está na negação das desigualdades: a negação de $x + 5 < 3$ é $x + 5 \ge 3$, não $x + 5 > 3$. O mesmo vale para $x + 1 \ge 7$, cuja negação é $x + 1 < 7$, não $x + 1 \le 7$. A banca trocou os sinais de desigualdade, mantendo a estrutura correta de quantificador e conectivo.

Alternativa B — ❌ Incorreta

A alternativa B apresenta $(\forall x)(x + 5 \ge 3 \lor x + 1 < 7)$. O erro está no quantificador: a negação de $\forall$ é $\exists$, não $\forall$. A banca manteve o quantificador universal, o que não corresponde à negação lógica.

Alternativa C — ✅ Correta ⟵ GABARITO

A alternativa C apresenta $(\exists x)(x + 5 \ge 3 \lor x + 1 < 7)$. Esta é exatamente a negação correta: inverteu o quantificador ($\forall$ → $\exists$), negou a conjunção aplicando a Lei de Morgan ($\land$ → $\lor$) e negou cada desigualdade ($<$ → $\ge$ e $\ge$ → $<$).

Alternativa D — ❌ Incorreta

A alternativa D apresenta $(\forall x)(x + 5 > 3 \land x + 1 \le 7)$. Aqui há dois erros: o quantificador deveria ser existencial, e o conectivo deveria ser disjunção, não conjunção. Além disso, as desigualdades também foram negadas incorretamente.

Alternativa E — ❌ Incorreta

A alternativa E apresenta $(\exists x)(x + 5 \ge 3 \land x + 1 < 7)$. O erro está no conectivo: a negação de uma conjunção é uma disjunção, não uma conjunção. A banca manteve o conectivo "e", o que não corresponde à aplicação da Lei de Morgan.

Gabarito: letra C