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Questão de Raciocínio Lógico — Sequências de Números, Figuras, Letras e Palavras — VUNESP 2025

Raciocínio LógicoSequências de Números, Figuras, Letras e Palavras
Código
vu222544
Banca
VUNESP
Órgão
Faculdade Belavista
Ano
2025
Cargo
Vest ( )
Considere as progressões aritméticas:   a = (2 000, 2 045, 2 090, ...) b = (2 500, 2 530, 2 560, ...)   Para essas sequências, b1 > a1, b2 > a2, b3 > a3 e assim sucessivamente, até certo índice i, tal que bi > ai e ai+1 > bi+1. Para esse índice i, o valor da diferença bi – ai é igual a
  1. A5.
  2. B10.
  3. C15.
  4. D20.
  5. E25.
Revelar gabarito e comentário

GabaritoA — 5.

Comentário gerado por IA. É um apoio ao estudo, ancorado em fontes, mas pode conter imprecisões — confira sempre na fonte oficial (lei, súmula, edital e gabarito da banca). Encontrou um erro? Use “Reportar”.

Resolução

Gabarito: letra A — a conta chega a 5 (alternativa A).

A ideia por trás

Uma progressão aritmética é uma sequência em que cada termo é o anterior somado a um valor fixo, chamado razão. O termo geral é a_n = a_1 + (n-1)·r, onde a_1 é o primeiro termo, r é a razão e n é a posição do termo. Aqui temos duas PAs: a começa em 2000 e cresce de 45 em 45; b começa em 2500 e cresce de 30 em 30.

Como b começa mais alto (500 unidades à frente) mas cresce mais devagar (razão 30 contra 45), a diferença b_n - a_n diminui a cada termo. A diferença entre os termos de ordem n é dada por b_n - a_n = (2500 + (n-1)·30) - (2000 + (n-1)·45) = 500 - 15(n-1). Ou seja, a cada passo a diferença encolhe 15 unidades. O problema pede o último índice em que essa diferença ainda é positiva, antes de a sequência a ultrapassar a b.

Esta questão cobra exatamente esse ponto de virada: encontrar o maior n inteiro tal que b_n - a_n > 0. Para isso, resolvemos a inequação 500 - 15(n-1) > 0 e tomamos o maior inteiro que a satisfaz.

O que a questão dá

  • primeiro termo da PA a: 2000

  • razão da PA a: 45

  • primeiro termo da PA b: 2500

  • razão da PA b: 30

O que queremos: a diferença b_i - a_i no último índice em que b ainda é maior que a

Passo 1 — Montar a expressão da diferença entre os termos

Precisamos comparar as duas sequências termo a termo. Como cada uma é uma PA, podemos escrever o termo geral de cada uma e subtrair um do outro para obter uma fórmula que dá a diferença em qualquer posição n.

Por que esta fórmula: O termo geral de uma PA é a_n = a_1 + (n-1)·r. Aplicando isso para a e b e subtraindo, obtemos a diferença em função de n.

bn−an=(2500+(n−1)⋅30)−(2000+(n−1)⋅45)b_n - a_n = (2500 + (n-1)\cdot 30) - (2000 + (n-1)\cdot 45)

De onde vem cada valor: 25002500 = enunciado: primeiro termo de b · 3030 = enunciado: razão de b · 20002000 = enunciado: primeiro termo de a · 4545 = enunciado: razão de a

bn−an=(2500+(n−1)⋅30)−(2000+(n−1)⋅45)b_n - a_n = (2500 + (n-1)\cdot 30) - (2000 + (n-1)\cdot 45)
bn−an=500 −15(n−1)b_n - a_n = \boxed{500\ - 15(\text{n}-1)}
NÃO CAIA NESSA!

Esquecer o (n-1) e usar n diretamente, o que desloca o índice em 1.

Passo 2 — Simplificar a expressão da diferença

A expressão ainda está com parênteses; simplificá-la deixa claro que a diferença começa em 500 e diminui 15 a cada termo, o que facilita a próxima etapa.

Por que esta fórmula: Distribuímos as multiplicações e somamos os termos constantes: 2500 - 2000 = 500 e 30(n-1) - 45(n-1) = -15(n-1).

bn−an=500−15(n−1)b_n - a_n = 500 - 15(n-1)

De onde vem cada valor: 500500 = passo 1: 2500 - 2000 · 1515 = passo 1: 45 - 30

bn−an=500−15(n−1)b_n - a_n = 500 - 15(n-1)
bn−an=500 −15(n−1)b_n - a_n = \boxed{500\ - 15(\text{n}-1)}
NÃO CAIA NESSA!

Errar o sinal: como a razão de a é maior, a diferença diminui, então o termo com (n-1) é negativo.

Passo 3 — Encontrar o maior n com diferença positiva

O enunciado diz que até o índice i temos b_i > a_i, e a partir de i+1 temos a_{i+1} > b_{i+1}. Ou seja, i é o último índice em que a diferença ainda é positiva. Precisamos achar o maior n inteiro tal que b_n - a_n > 0.

Por que esta fórmula: Resolvemos a inequação 500 - 15(n-1) > 0. Isolamos n: 500 > 15(n-1) → n-1 < 500/15 ≈ 33,33. Como n é inteiro, o maior n-1 é 33, logo n = 34. Verificamos: para n=34, diferença = 5 > 0; para n=35, diferença = -10 < 0. Portanto, i = 34.

500−15(n−1)>0500 - 15(n-1) > 0

De onde vem cada valor: 500500 = passo 2: diferença inicial · 1515 = passo 2: diferença das razões

500−15(n−1)>0500 - 15(n-1) > 0
n=34n = \boxed{34}
NÃO CAIA NESSA!

Arredondar 33,33 para 33 e concluir n=33, mas o correto é n=34, pois n-1=33 dá n=34.

Passo 4 — Calcular a diferença no índice i

Agora que sabemos que i = 34, basta substituir n = 34 na expressão da diferença para obter o valor pedido.

Por que esta fórmula: Usamos a expressão simplificada do passo 2: b_n - a_n = 500 - 15(n-1).

b34−a34=500−15(34−1)b_{34} - a_{34} = 500 - 15(34-1)

De onde vem cada valor: 500500 = passo 2 · 1515 = passo 2 · 3434 = passo 3: índice i

b34−a34=500−15×33=5b_{34} - a_{34} = 500 - 15 \times 33 = \boxed{5}
NÃO CAIA NESSA!

Usar n=33 e obter 20, ou usar n=35 e obter -10.

Resposta: 5 (alternativa A)

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